3个附加题综合仿真练(五)(理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3)，求矩阵A.解：设A＝，因为向量是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量，所以＝＝(－1)＝.所以①因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3，3)，所以＝＝.所以②由①②解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线(n为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．解：法一：将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x.将直线(n为参数)代入y2＝8x得，n2－8n＋24＝0，解得n1＝2，n2＝6.则|n1－n2|＝4，所以线段AB的长为4.法二：将曲线(t为参数)化为普通方程为y2＝8x,将直线(n为参数)化为普通方程为x－y＋＝0，由得或所以AB的长为＝4.C．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝，g(x)＝，若存在实数x使f(x)＋g(x)>a成立，求实数a的取值范围．解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，因为f(x)＋g(x)＝＋＝×＋1×，由柯西不等式得，(×＋1×)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝＋≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，故实数a的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.(1)求棱AA1与BC所成的角的大小；(2)在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为.解：(1)以A为坐标原点，AC，AB所在直线为x轴，y轴，过A平行于A1B的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,2,2)，B1(0，4,2)，AA1＝(0,2,2)，BC＝B1C1＝(2，－2,0)．所以cos〈AA1，BC〉＝＝＝－，故棱AA1与BC所成的角是.(2)设B1P＝λB1C1＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB的一个法向量为n1＝(x，y，z)，又AP＝(2λ，4－2λ，2)，AB＝(0,2,0)，则即令x＝1，得平面PAB的一个法向量n1＝(1,0，－λ)．易知平面ABA1的一个法向量是n2＝(1,0,0)，则cos〈n1，n2〉＝＝＝，解得λ＝，即P为棱B1C1的中点，其坐标为P(1,3,2)时，二面角PABA1的平面角的余弦值为.3．设a＞b＞0，n是正整数，An＝(an＋an－1b＋an－2b2＋…＋a2bn－2＋abn－1＋bn)，Bn＝n.(1)证明：A2＞B2；(2)比较An与Bn(n∈N*)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A2－B2＝(a2＋ab＋b2)－2＝(a－b)2>0.(2)An≥Bn，证明如下：当n＝1时，A1＝B1；当n≥3时，An＝·，Bn＝n，令a＋b＝x，a－b＝y，且x>0，y>0，于是An＝·＝[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]，Bn＝n，因为[(x＋y)n＋1－(x－y)n＋1]＝(2Cxny＋2C·xn－2y3＋…)≥2Cxny，所以An≥·2Cxny＝＝n＝Bn.
