第1节平面向量的概念及线性运算1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则AE等于()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD解析：A[BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD，AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋＝AB＋AD.故选A.]2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：D[由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b不共线，∴∴k＝λ＝－1.∴c与d反向．故选D.]3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD.BC＋BA解析：A[如图，CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝－BC＋BA.]4．已知向量a，b是两个不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：C[A，B，C三点共线等价于AC，AB共线，根据向量共线的充要条件知，AC、AB共线，即存在实数λ，使得AC＝λAB，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共线，根据平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要条件．]5．已知非零不共线向量OA、OB，若2OP＝xOA＋yOB，且PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：A[由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.]6．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.B.C.D.解析：D[设CO＝yBC，∵AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈，∵AO＝xAB＋(1－x)AC，∴x＝－y，∴x∈.]7．(2019·济宁市模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4解析：B[∵O为BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.]8．(2019·聊城市质检)设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：B[∵BC＝a＋b，CD＝a－2b，∴BD＝BC＋CD＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线．设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]9．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是________．(填序号)①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b.解析：根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.答案：②10．在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝________(用e1，e2表示)．解析：如图所示，MN＝CN－CM＝CN＋2BM＝CN＋BC＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.答案：－e1＋e211．已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的序号为________．解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，BE＝BC＋CA＝a＋b，CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴正确命题为②③④.答案：②③④12．(2020·上饶市二模)已知a，b为单位向量，且a＋b＋c＝0，则|c|的最大值为________．解析：因为a，b为单位向量，∴|a|＝|b|＝1，又a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|c|＝|－a－b|≤|a|＋|b|＝1＋1＝2，∴|c|的最大值为2.答案：2
