邗江区高一数学期中试卷2015.4一、填充题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1.=.（）2.在△ABC中，若=3，b=，，则∠C的大小为．（）3．已知等差数列中，，，则=▲.（,=15）4．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=．解： tan（θ+）==，∴tanθ=﹣， θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣5.△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=6.在等差数列{}中，已知，则3=．解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．7．sin15°sin75°的值是．解： sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．18．在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，则BC边上的中线AD的长等于．（）9.已知{}是等差数列，=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若，，成等比数列，则S8=．解： {an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．10．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．解： sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．11．=．(-1)12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，b，c，已知b﹣c=，2sinB=3sinC，则cosA的值为．解：在△ABC中， b﹣c=a①，2sinB=3sinC，∴2b=3c②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．13．在钝角中，，，，，则的取值范围是．()解：因故满足下列条件：2即即故说明：解决本题的关键在于合理、充分、灵活运用条件，其中由可得，，这样自然有，，故、、、均可省略。14．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=，若=1，=2，则数列{}的通项公式是．解：设， OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S． 所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…， ，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{an}的通项公式是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定的区域内作答．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题１４分）设等差数列{an}满足，=﹣9．（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）求{}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2，a1=9，………………………………4分数列{an}的通项公式为an=11﹣2n………………………………6分3（2）法1：由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．………………………………10分所以n=5时，Sn取得最大值．………………………………14分法2： ，，∴在最后一个正数或0处取得最大值………………8分由………………………………10分………………………………12分又故………………………………14分16．（本小题１４分）已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．解：由题设知α﹣β为第一象限的角，………………………………1分∴sin（α﹣β）==．…………………4分由题设知α+β为第三象限的角，………………………………5分∴cos（α+β）==，…………8分∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]，………………………………10分=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．……………14分17．本小题１5分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．解：（1）因为A+B+C=π，A+3C=π，所以B=2C．………2分又由正弦定理，得，，，化简得，．………5分（2）因为C∈（0，π），所以．4所以．………8分（3）因为B=2C，所以．………10分因为A+B+C=π，...
