专题限时集训(四)数列求和与综合问题[专题通关练](建议用时：30分钟)1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35B[由等比数列的性质，知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故选B.]2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.C.D.B[ an＋1＝Sn＋1－Sn，且Sn＝2an＋1，∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即＝.∴{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，即Sn＝.]3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为()A．－B.C．－D.A[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，∴a＋＝，∴a＝－.故选A.]4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则S13＝()A.B.C.D.D[由题意， a1＝2，n＝2时，a2＋a3＝22，n＝4时，a4＋a5＝24，n＝6时，a6＋a7＝26，n＝8时，a8＋a9＝28，n＝10时，a10＋a11＝210，n＝12时，a12＋a13＝212，S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212＝2＋＝.故选D.]5．(2019·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于()A．3B．4C．5D．6C[在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.则公比q＝＝＝－2，因为Sm＝－11，所以＝－11，①又am＋1＝a1(－2)m＝32，②两式联立解得m＝5，a1＝－1.]6．[一题多解]设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________.32[法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，则Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以数列{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＝4×2n－1＝2n＋1，则a5＝S5－S4＝26－25＝32.法二：当n≥2时，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，两式相减，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以数列{an}是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.]7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2020＝________.[由an＋2－2an＋1＋an＝0可知数列{an}是等差数列，则公差d＝a2－a1＝2－1＝1.∴Sn＝na1＋d＝n＋＝.∴＝＝＝2，∴Tn＝21－＋－＋…＋－＝21－，∴T2020＝2＝.]8．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.2[由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0， 对任意正整数n，上式恒成立，∴得∴数列{an}的公差为2.][能力提升练](建议用时：20分钟)9．已知正项数列{an}满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为()A．nB．C．D．C[由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，又an＞0，∴＝2，∴an＋1＝a12n，∴bn＝log2＝log22n＝n.∴数列{bn}的前n项和为，故选C.]10．已知数列{bn}满足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝bn＋cos2，则该数列的前23项的和为()A．4194B．4195C．2046D．2047A[当n为偶数时，bn＋2＝bn＋cos2＝bn＋1，有bn＋2－bn＝1，即偶数项成等差数列，所以b2＋b4＋…＋b22＝11b2＋×1＝99.当n为奇数时，bn＋2＝2bn，即奇数项成等比数列，所以b1＋b3＋…＋b23＝＝212－1＝4095.所以该数列的前23项的和为99＋4095＝4194，故选A.]11．[重视题](2019·惠州调研)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N,1≤i＜j≤n}的元素个数为cn，把{cn}的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为________．293[设an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，则ai＋aj＝2a1＋(i＋j－2)d，由题意知1≤i＜j≤n，当i＝1，j＝2时，i＋j－2取最小值1，当i＝n－1，j＝n时，i＋j－2取最大值2n－3，易知i＋j－2可取遍1,2,3，…，2n－3，即cn＝2n－3(n≥3)．数阵中前16行共有1＋2＋3＋…＋16＝136(个)数，所以第17行由左向右数第10个数为c148＝2×148...
