上海市封浜中学高三数学第二轮专题复习第1讲从高考数学创新题谈起创新能力是指在运用已知信息开展思维活动中，产生某种新颖、独特的有社会或个人价值产品的能力，数学创新能力一般指对已经掌握的数学知识、数学方法进行推广和拓展，对未来的数学领域通过探索得到新的结果的能力。高中数学中创新能力型问题常见的有以下三种情况：1．类比发现型；2．拓展推广型；3．设计构造型。一．高考中的创新题2006年全国各地高考数学试卷中出现了不少创新题，让我们来欣赏其中的一些题目：1．（广东卷第10题）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则………（）A．B．C．D．本题在实数运算的基础上定义了实数对的两种新的运算“”和“”，要求考在阅读理解及准确把握的基础上，把这两种新的运算转化为熟悉的解方程组运算，从而运用已有的知识去分析、解决问题．解：由题意，，解得，所以正确答案为（B）．实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数满足，则_____________．2．（陕西卷理第12题）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()A．4,6,1,7B．7,6,1,4C．6,4,1,7D．1,6,4,7本题注意敢联系实际，是近年来高考数学命题的一个特点．此类题能较好地体现新课程改革的亮点，信息密码在现实生活当中无处不在，只要列四元线性方程组就能读出明文．有关密码安全的教学尝试，可参考《数学教学》2006年第2期第4页的文章．这里介绍四种简单的密码方案（以数字密码为例——可映射到英文字母或汉语拼音）．（1）置换密码——把一个数字置换成另一个数字，必须是一一对应的．（2）加法密码——（）（如）．（3）乘法密码——（），为常数．（4）仿射密码（乘法和加法相结合）——（），，互质，．3．（北京卷理第20题）在数列中，若、是正整数，且,3，4，5，…，则称为“绝对差数列”．用心爱心专心116号编辑（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”中，,，数列满足=1，2，3，…，分别判断当时,与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．解：（1）解：,（答案不惟一）（2）解：因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,,即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，的极限不存在．当时,,所以（3）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下：假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而当时,;当时,即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()矛盾.从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值0，,,即用心爱心专心116号编辑所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.评析：本题是典型的开放、探索型数列新概念考题．实质是递推数列问题，但命题者赋予了新的定义“绝对差数列”，同时为考生提供了一个广阔的自由开放的探索空间．作为试卷的“压阵题”，能够使大多数考生在做题时较容易“上手”，但是要完全地答对就要求考生必须具备扎实的基本功及探索能力．本题是一道区分度较强的考题，较好地体现了数学高考“压阵题”的特点．由于新概念型考题能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力，从而成为近年来高考命题的热点．4．（上海卷文第22题）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值．（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．解：(1)由已知得=4,b=∴4.(2) c∈[1,4],∴∈[1,2],于是,当x=时,函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)－f(2)=,当1≤c≤2时,函数f(x)的最大值是f(2)=2+；当2≤c≤4时,函数f(x)的最大值是f(1)...
