专题14导数在函数研究中的应用1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.B．－C．－ln2D．ln2解析：y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.经检验，x＝－时函数取极小值，所以x＝－.答案：B2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c解析：由导函数f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，当00，所以函数f(x)的极小值为f(0)＝c.答案：D3．函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－D．不存在解析：y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－.答案：C4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()5．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是()A．(－∞，]B．(－∞，3]C．[，＋∞)D．[3，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥(x＋)在[1，4]上恒成立．因为y＝(x＋)在[1，4]上单调递增，所以t≥(4＋)＝.答案：C6．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上的单调情况是________．解析：在(0，2π)上有f′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0，2π)上单调递增．答案：单调递增7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．解：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：328．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，∴a<.答案：(－∞，)9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．10．设函数f(x)＝alnx－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．解：(1)f′(x)＝－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，∴解得11．已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．解：(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．f(x)＝＝，f′(x)＝＝，所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0.当－r0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.
