压轴题冲关系列(一)(时间：45分钟分数：60分)1．(2015·辽宁沈阳一模)已知函数f(x)＝alnx(a＞0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a；(3)若在区间(1，e)上＞1恒成立，求实数a的取值范围．(1)解：函数f(x)＝alnx的导函数f′(x)＝，∵过点A(2，f(2))的切线斜率为2，∴f′(2)＝＝2，解得a＝4
(2)证明：令g(x)＝f(x)－a＝a，则函数的导数g′(x)＝a
令g′(x)＞0，即a＞0，解得x＞1，∴g(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增．∴g(x)最小值为g(1)＝0，故f(x)≥a成立．(3)解：令h(x)＝alnx＋1－x，则h′(x)＝－1，令h′(x)＞0，解得x＜a
当a＞e时，h(x)在(1，e)是增函数，所以h(x)＞h(1)＝0
当1＜a≤e时，h(x)在(1，a)上递增，(a，e)上递减，∴只需h(e)≥0，即a≥e－1
当a≤1时，h(x)在(1，e)上递减，则需h(e)≥0，∵h(e)＝a＋1－e＜0不合题意．综上，a≥e－1
2．(2015·山东潍坊一模)椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：x＋my＝恒过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F1PQ的周长为8，点O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMGN，其中G在椭圆C上，当≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．解：(1)∵直线l：x＋my＝恒过定点(，0)，∴椭圆的右焦点F2(，0)，∴c＝，∵△F1PQ的周长为8，∴4a＝8，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1
(2)联立化为(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，由Δ
