压轴题冲关系列(一)(时间：45分钟分数：60分)1．(2015·辽宁沈阳一模)已知函数f(x)＝alnx(a＞0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x＞0时，求证：f(x)≥a；(3)若在区间(1，e)上＞1恒成立，求实数a的取值范围．(1)解：函数f(x)＝alnx的导函数f′(x)＝，∵过点A(2，f(2))的切线斜率为2，∴f′(2)＝＝2，解得a＝4.(2)证明：令g(x)＝f(x)－a＝a，则函数的导数g′(x)＝a.令g′(x)＞0，即a＞0，解得x＞1，∴g(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增．∴g(x)最小值为g(1)＝0，故f(x)≥a成立．(3)解：令h(x)＝alnx＋1－x，则h′(x)＝－1，令h′(x)＞0，解得x＜a.当a＞e时，h(x)在(1，e)是增函数，所以h(x)＞h(1)＝0.当1＜a≤e时，h(x)在(1，a)上递增，(a，e)上递减，∴只需h(e)≥0，即a≥e－1.当a≤1时，h(x)在(1，e)上递减，则需h(e)≥0，∵h(e)＝a＋1－e＜0不合题意．综上，a≥e－1.2．(2015·山东潍坊一模)椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：x＋my＝恒过椭圆的右焦点F2，且与椭圆交于P，Q两点，已知△F1PQ的周长为8，点O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋t与椭圆C交于M，N两点，以线段OM，ON为邻边作平行四边形OMGN，其中G在椭圆C上，当≤|t|≤1时，求|OG|的取值范围．解：(1)∵直线l：x＋my＝恒过定点(，0)，∴椭圆的右焦点F2(，0)，∴c＝，∵△F1PQ的周长为8，∴4a＝8，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)联立化为(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，由Δ＝64k2t2－4(1＋4k2)(4t2－4)＞0，可得4k2＋1＞t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，G(x0，y0)，则x1＋x2＝－，∵四边形OMGN是平行四边形，∴x0＝x1＋x2＝，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝kx0＋2t＝，可得G，∵G在椭圆C上，∴＋2＝1，化为4t2(4k2＋1)＝(4k2＋1)2，∴4t2＝4k2＋1，∴|OG|2＝x＋y＝2＋2＝＝＝4－，∵≤|t|≤1，∴≤t2≤1，∴∈，∴|OG|的取值范围是.3.(2015·内蒙古赤峰一模)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)若存在两个不等实根x1，x2∈，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝lnx＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增①当t≥时，在区间(t，t＋2)上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt.②当00恒成立．由②问结论知，|AF2|＝－x1，|BF2|＝－x2，∴＋＝＋＝＝＝＝2.综上，＋＝2.
