2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测第四章三角函数二、三角基本公式知识网络范例精讲【例1】已知cos（2α－β）=－，sin（α－2β）=，且<α<，0<β<，求cos（α+β）的值.分析:已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即（2α－β）－（α－2β）=α+β.由角α，β的取值范围，分别求出角2α－β，α－2β的正弦和余弦值，再利用公式即可求解.解: <α<，0<β<，∴<2α－β<π，－<α－2β<.由cos（2α－β）=－，得sin（2α－β）=;由sin（α－2β）=，得cos（α－2β）=.∴cos（α+β）=cos［（2α－β）－（α－2β）］=cos（2α－β）cos（α－2β）+sin（2α－β）sin（α－2β）=－×+×=.评注:在三角变换中，首先应考虑角的变换.如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：α=（α+β）－β，α+2β=（α+β）+α，α=+，β=－，……【例2】求证：－=32cos20°.分析:本题证明方向显然是从左边证到右边.同时，注意到角与函数次数的变化，运用降幂公式sin2α=，cos2α=可使等式中的角与函数的次数得到统一.证法一:左边=－=－===用心爱心专心====32cos20°=右边，∴原式成立.证法二:左边======32cos20°=右边，∴原式成立.评注:关于三角函数的化简、求值、证明问题要善于观察、联想公式之间的内在联系，通过拆、配等方法去分析问题和解决问题.证法一中的常值代换（用cos60°代）、角的分拆（20°分成40°－20°，60°分成40°+20°）及公式的逆用，是实施三角变形的重要方法.【例3】设3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+，α+β≠kπ+（k∈Z）.求证：tan（α+β）=2tanα.分析:条件恒等式的证明.要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角，看函数的名称、次数、式子的结构特征.对于本题，从角的差异入手，将角变形为2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α.从已知条件变形入手，可证得结论.证明:由3sinβ=sin（2α+β），得3sin［（α+β）－α］=sin［（α+β）+α］，即3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）·sinα.整理得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.因为α≠kπ+，α+β≠kπ+（k∈Z），将上式两边同除以cosαcos（α+β），得tan（α+β）=2tanα.评注:证明条件恒等式，一般有两种方法，即推出法与代入法.无论使用哪一种方法都要盯住目标，据果变形.若用推出法，则应盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、结构特征），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到推出目标.若用代入法，就要盯住作为目标的被证等式的一边，根据它对欲证等式的另一边及条件进行变形，先创造机会，然后带入条件，最后推出目标.用心爱心专心【例4】已知非零实数a，b满足=tanπ，求的值.解法一:所给等式左边的分子、分母同除以a，则已知等式化为关于的方程，可求出.由题设得=，解这个关于的方程得===tan=.解法二:已知等式的左边的分子、分母都具有asinα+bcosα的结构，可考虑引入辅助角求解. asin+bcos=sin（+），acos－bsin=cos（+），其中cos=，sinφ=，即tan=.∴由题设得tan（+）=tanπ.故+=kπ+π，即=kπ+（k∈Z）.因此，=tan=tan（kπ+）=tan=.解法三:在已知等式的左边，分子与分母同时除以acos得=tanπ.令=tanθ，则=tanπ.∴tanθ==tan（π－）=tan=.用心爱心专心评注:解法一利用了集中变量的思想，是一种基本方法;解法二通过模式联想，引入辅助角;解法三通过联想两角和的正切公式，利用了换元法，实质上是综合了解法一和解法二的优点.试题详解2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测（三）三角函数（二）（A卷）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.化简sin（α－β）cosβ+cos（α－β）sinβ的结果为（）A.1B.sinαC.cosαD.sinαcosβ解析：原式=sin［（α－β）+β］=sinα.答案：B2.cos－si...
