限时规范训练圆锥曲线的综合问题限时60分钟，实际用时________分值60分，实际得分________解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F(－1,0)．设Q＝(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点P在椭圆C上，满足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝4.(1)求椭圆C的方程．(2)已知点A(1,0)，试探究是否存在直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于D，E两点，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos2∠F1PF2＝＝＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝，所以a＝2，故所求C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l满足题设，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，将y＝kx＋m代入＋y2＝1并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝－16(m2－4k2－1)＞0，得4k2＋1＞m2①，又x1＋x2＝－设D，E中点为M(x0，y0)，M，kAM·k＝－1，得m＝－②，将②代入①得4k2＋1＞2，化简得20k4＋k2－1＞0⇒(4k2＋1)(5k2－1)＞0，解得k＞或k＜－，所以存在直线l，使得|AD|＝|AE|，此时k的取值范围为∪.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1,2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.4．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，F2的坐标满足圆Q方程(x－)2＋(y－1)2＝1，且圆心Q满足|QF1|＋|QF2|＝2a.(1)求椭圆C1的方程．(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．解：(1)方程(x－)2＋(y－1)2＝1为圆，此圆与x轴相切，切点为F2(，0)，所以c＝，即a2－b2＝2，且F2(，0)，F1(－，0)，|QF1|＝＝＝3，又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a.所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋＝1.(2)当l1平行x轴时，l2与圆Q无公共点，从而△MAB不存在；所以设l1：x＝t(y－1)，则l2：tx＋y－1＝0.由消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－4＝0，则|AB|＝|y1－y2|＝.又圆心Q(，1)到l2的距离d1＝＜1得t2＜1.又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d2，即d2＝＝.所以△MAB面积S＝|AB|·d2＝，令u＝∈[2，)，则S＝f(u)＝＝∈.所以△MAB面积的取值范围为.5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2＝2py(p＞0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2＋y2＝1相切于点Q.(1)当直线PQ的方程为x－y－＝0时，求抛物线C1的方程；(2)当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．解：(1)设点P，由x2＝2py(p＞0)得，y＝，求导得y′＝.因为直线PQ的斜率为1，所以＝1且x0－－＝0，解得p＝2，所以抛物线C1的方程为x2＝4y.(2)因为点P处的切线方程为：y－＝(x－x0)，即2x0x－2py－x＝0，根据切线又与圆相切，得＝1，化简得x＝4x＋4p2，由4p2＝x－4x＞0，得|x0|＞2.由方程组解得Q，所以|PQ|＝|xP－xQ|＝＝＝×＝(x－2)．点F到切线PQ的距离是d＝＝＝＝，所以S1＝|PQ|·d＝(x－2)，S2＝|OF||xQ|＝，所以＝＝＝＝＋＋3≥2＋3，当且仅当＝时取“＝”号，即x＝4＋2，此时，p＝，所以的最小值为3＋2.
