命题角度4.3：空间中的折叠问题1.如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，使得平面平面，为的中点，连接.（1）求证：；（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解析】试题分析：（1）在图中，作于，由平面几何知识可知，又平面平面所以平面，可证。（2）为的中点，到平面的距离等于到平面距离的一半，过作于，平面就是到平面的距离.（2）如图，为的中点，到平面的距离等于到平面距离的一半.而平面平面，所以过作于，又由则平面就是到平面的距离.由图易得.到平面的距离为.2.已知下图中，四边形ABCD是等腰梯形，，，于M、交EF于点N，，，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为、且使，如图示．(Ⅰ)证明：平面ABFE；,(Ⅱ)若图中，，求点M到平面的距离．【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)．【解析】试题分析：（I）折叠前后，⊥EF、MN⊥EF，故EF⊥平面，故.利用勾股定理可证得，所以平面ABFE；（II）设点M到平面的距离为h，,，利用勾股定理证明，利用等体积法可求得点M到平面的距离为.试题解析：(Ⅰ)可知，∴⊥EF、MN⊥EF，又，得EF⊥平面，得， ∴，又，∴平面ABFE．∴，，又，代入①式，得，解得，∴点M到平面的距离为．3.如图1，在边长为4的正三角形中，分别为的中点，为的中点.将与分别沿同侧折起，使得二面角与二面角的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体.（1）在多面体中，求证：四点共同面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由已知条件可证明平面和平面，所以，故四点共同面；（2）利用体积分割求.（2）因为平面，平面，，所以是四棱锥的高，点到平面的距离等于点到平面，又，，，所以.4.以为直径的圆经过、两点，延长、交于点，将沿线段折起，使点在底面的射影恰好为的中点.若，，线段、的中点分别为.（1）判断四点是否共面，并说明理由；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）四点不共面.（2）【解析】试题分析：（1）证明四点不共面,基本方法为反证法,即假设四点共面,则由线线平行得到线面平行平面,再由线面平行得到线线平行,与条件相交矛盾,反设不成立,得到结论,（2）求四棱锥的体积,关键在于求高,而高的寻求往往借助于线面垂直关系得到,本题根据面面垂直性质定理得到线面垂直,，所以为四棱锥的高,再代入体积公式即可.试题解析：（1）假设四点共面，因为，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，所以，与已知矛盾，所以四点不共面.（2）由题意，又，于，所以平面所以平面平面，点在底面的射影恰为的中点，所以，所以为四棱锥的高，，∴，，∴∴，，，线段的中点为，所以点到平面的高为连接，所以，，5.如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．（1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的正切值为，设，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直，一般先证线面垂直，题中已知平面，由于是的中点，只要取的中点，可证，从而得平面，因此就得到面面垂直；（2）由（1）的垂直可证是等边三角形，因此有，再得，于是有平面，可得，这样可求得图形中各线段长，可得四棱锥的底面积和高，得体积．试题解析：（1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面，∴平面，∴平面平面PCD；所以所以.，∴为直线与所成的角，由（1）可得，∴，∴，由，可知，则.6.如图（1）所示，已知四边形是由直角△和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点，，现将△沿进行翻折，使得二面角的大小为，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理可证得平面，则.(2)利用体积的比值结合体积公式可得点到平面的距离为.试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，又，所以平面．又平面，所以．在直角梯形中，，，，所以，又，所以，即，又，所以平面．因为平面，所以.（Ⅱ）设点到平面的距离为，因为，且，所，即，故点到平面的距离为.7.如图，在矩形中，分别为的中点，现将沿折起，得四棱...
