专题能力提升练二十三导数的简单应用与定积分(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)的导数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于()A.-2B.2C.-D.【解析】选C.因为f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,所以f′(x)=2x+3f′(2)+,所以f′(2)=2×2+3f′(2)+,解得f′(2)=-.故选C.2.sin2dx=()A.0B.-C.-D.-1【解析】选B.sin2dx=dx==-.3.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,f(-1))处切线的斜率为8,则f(-1)=()A.7B.-4C.-7D.4【解析】选B.因为y′=4x3+2ax,所以-4-2a=8,所以a=-6,所以f(-1)=1+a+1=-4.4.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为()A.B.2C.1D.【解析】选A.根据积分的运算法则,可知f(x)dx可以分为两段,则f(x)dx=+lnx=+1=.5.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,则曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.因为当x>0时,f(x)=(2x-1)lnx,所以f′(x)=2lnx+2-,所以f′(1)=1因为函数f(x)是偶函数,所以f′(-1)=-1,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线斜率为-1.6.若S1=dx,S2=(lnx+1)dx,S3=xdx,则S1,S2,S3的大小关系为()A.S10,所以k>0,所以排除A,B.8.曲线y=x2+2与直线5x-y-4=0所围成的图形的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.根据题意,由消去y,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当20,g(x)在(1,+∞)上为增函数,则g(x)的最小值g(1)=0,则有k+b=(lnx0-1)+≥0,即k+b的取值范围是[0,+∞).二、填空题(每小题5分,共20分)13.(2018·荆州一模)曲线C:f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为________.【解析】因为f(x)=sinx+ex+2,所以f′(x)=cosx+ex,所以曲线f(x)=sinx+ex+2在点P(0,3)处的切线的斜率为:k=cos0+e0=2,所以曲线f(x)=sinx+ex+2在点P(0,3)处的切线的方程为:y=2x+3.答案:y=2x+314.(2018·化州二模)已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为________.【解析】函数f(x)=ex-mx+1的导数为f′(x)=ex-m,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,即有ex-m=-有解,即m=ex+,由ex>0,则m>,则实数m的范围为,答案:15.曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为________.【解析】由得交点A(1,1).由得交点B(3,-1).故所求面积S=dx+dx=+=++=.答案:16.(2018·遂宁一模)设函数f(x)=x2-2ax(a>0)与g(x)=a2lnx+b有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b的最大值为________.【解析】设公共点坐标为(x0,y0),则f′(x)=3x-2a,g′(x)=,所以有f′(x0)=g′(x0),即3x0-2a=,解出x0=a,又y0=f(x0)=g(x0),所以有-2ax0=a2lnx0+b,故b=-2ax0-a2lnx0,所以有b=-a2-a2lna,对b求导有b′=-2a(1+lna),故b关于a的函数在为增函数,在为减函数,所以当a=时b有最大值.答案:
