第十讲点、线、面的位置关系1.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出四个命题:①若α∩β=m,nα,n⊥m,⊂则α⊥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.①④D.②④2.如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是()A.AP⊥PB,AP⊥PCB.AP⊥PB,BC⊥PBC.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PCD.AP⊥平面PBC3.(2018广西南宁模拟)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,AD的中点,异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()A.❑√147B.57C.❑√105D.2❑√554.在下列四个正方体中,能得出异面直线AB⊥CD的是()5.(2018广东广州调研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为CC1的中点,N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为()A.23B.12C.16D.136.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'=4,点E,F,G,H,M分别是边AA',AB,BB',A'B',BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动(包括边界),并且始终有MP∥平面ACC'A',则动点P的轨迹长度为()A.2B.2πC.2❑√3D.47.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.8.已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若α⊥β,mα,nβ,⊂⊂则m⊥n;②若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中所有正确命题的序号是.9.如图,∠ACB=90°,DA⊥平面ABC,AE⊥DB交DB于E,AF⊥DC交DC于F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为.10.(2018河南洛阳第一次统考)正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形,M,N分别是AC,DE的中点,将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内),则下列说法一定正确的是.(写出所有正确说法的序号)①MN∥平面BCE;②在折起过程中,一定存在某个位置,使MN⊥AC;③MN⊥AE;④在折起过程中,一定存在某个位置,使DE⊥AD.11.(2018湖北武汉调研)如图(1),在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图(2)所示的四棱锥D1-ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明:BE⊥平面D1AE;(2)设F为CD1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF∥平面D1AE?若存在,求出AMAB的值;若不存在,请说明理由.12.(2018河北唐山五校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)若PC=❑√2,求三棱锥C-PAB的高.13.(2018湖南湘东五校联考)如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,△A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1.(1)求证:AB1∥平面A1C1C;(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.14.(2018云南昆明调研)如图,在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,点D在PC上,且BD⊥平面PAC.(1)证明:PA⊥平面PBC;(2)若AB∶BC=2∶❑√6,求三棱锥D-PAB与三棱锥D-ABC的体积比.答案精解精析1.B两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,②正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故③正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也可能平行,故④不正确.2.BA中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;C中,因为平面BPC⊥平面APC,平面BPC∩平面APC=PC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出AP⊥BC,故选B.3.D如图,过点E作EM∥AB,交AA1于点M,过M点作MN∥AD,交DD1于点N,取MN的中点G,连接EG,NE,D1G,所以平面EMN∥平面ABCD,易知EG∥BF,所以异面直线BF与D1E所成的角为∠D1EG(或其补角),不妨设正方体的棱长为2,则GE=❑√5,D1G=❑√2,D1E=3,在△D1EG中,cos∠D1EG=D1E2+GE2-D1G22D1E·≥¿¿=2❑√55,故选D.4.A对于A,作出过AB的平面ABE,如图①,可得直线CD与平面ABE垂直,根据线面垂直的性质知,AB⊥CD成立,故A正确;对于B,作出以AB为边的等边三角形ABE,如图②,将CD平移至AE,可得CD与AB所成的角等于60°,故B不成立;对于C、...
