课时分层作业(十四)向量数量积的运算律(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为()A．－B．C．－3D．3C[向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b＝|a||b|cos150°＝2××＝－3.故选C．]2.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，CM＝2MB，则AM·BC＝()A．－B．－C．D．C[因为AM＝AC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AC＋AB，所以AM·BC＝·(AC－AB)＝×32－×22＋AB·AC＝＋×2×3cos＝.]3.已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．C[因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cosθ＝＝，因为θ∈[0,π]，所以θ＝.]4．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为()A．－B．－C．D．A[因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得e1·e2＝1×1×cos＝－，|a|＝＝＝，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a上投影的数量为＝＝－，故选A．]5．已知平行四边形ABCD中，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A．20B．15C．9D．6C[如图所示，由题设知，AM＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，∴AM·NM＝·＝|AB|2－|AD|2＋AB·AD－AB·AD＝×36－×16＝9.]6．已知非零向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为()A．B．C．D．C[由|a＋2b|＝|a|，得a2＋4a·b＋4b2＝7a2，即a·b＝a2－b2.由a⊥(a－2b)，得a·(a－2b)＝0，即a·b＝a2.所以a2－b2＝a2，所以|a|＝|b|≠0，所以向量a，b的夹角θ满足cosθ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C．]二、填空题7．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC＝2a－6b，D为BC中点，则|AD|＝________.2[因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，则|AD|＝2.]8．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则OC·(OB－OA)＝________.－[由已知得|AB|＝，|AC|＝，则OC·(OB－OA)＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝1×cos＋×＝－.]9．(2019·南阳高一检测)已知向量|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB，(m,n∈R)，则＝________.3[|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，所以OA⊥OB，∴|AB|＝2＝2|OA|，∴∠OBC＝30°，又因为∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，故(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝0，从而－mOA2＋nOB2＝0，所以3n－m＝0，即m＝3n，所以＝3.]三、解答题10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°.[解]设圆心为O，连接OC，则|CO|＝|AB|，CO＝(CA＋CB)，所以|CO|2＝|AB|2，CO2＝(CA＋CB)2，得|AB|2＝(CA＋CB)2，即(CB－CA)2＝(CA＋CB)2，得CB2＋CA2－2CB·CA＝CB2＋CA2＋2CA·CB所以4CB·CA＝0，CB·CA＝0，所以CB⊥CA，即∠ACB＝90°.[等级过关练]1.已知AB和AC是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2AB－AC与CA的夹角是()A．30°B．60°C．90°D．120°C[设2AB－AC与CA的夹角为θ，则cosθ＝，又AB和AC是平面内的两个单位向量，则|AB|＝1，|AC|＝1，则(2AB－AC)·CA＝－(2AB－AC)·AC＝－2AB·AC＋AC2＝－2|AB|·|AC|cos60°＋|AC|2＝0，所以cosθ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C．]2.(2019·沈阳高一检测)已知向量OA与OB的夹角为θ，|OA|＝2，|OB|＝1，OP＝tOA，OQ＝(1－t)OB，t∈R,|PQ|在t＝t0时取得最小值，当0
