课时作业(二十一)坐标系与参数方程1．(2017·郑州市第二次质量预测)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ<2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解析：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得，故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解析：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d＝＝.当s＝时，dmin＝.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.3．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数)，两曲线相交于M，N两点．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若P(－2，－4)，求|PM|＋|PN|的值．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，直线l的普通方程为x－y－2＝0.(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝4x，得到t2－12t＋48＝0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝12，t1t2＝48>0，所以|PM|＋|PN|＝|t1＋t2|＝12.4．(2016·全国卷甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解析：(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，设点P(x′，y′)，Q(x，y)，根据中点坐标公式，得代入x2＋y2－4y＝12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3,1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，解得0≤a≤.∴实数a的取值范围为.6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.
