专题15导数在函数中的应用本专题特别注意：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3.已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5.含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造方法总结：1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＞0，在x＝x0处的右边f′(x0)＜0，则f(x)在x＝x0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＜0，在x＝x0处的右边f′(x0)＞0，则f(x)在x＝x0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y＝x3在x＝0处导数值为零，但x＝0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是[a，b]上的最小值.考点训练：一、单选题1．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是(）A.B.C.D.【答案】C所以函数的最大值为，又方程，解得或，结合图象，可知只有一个实数解，要使得方程恰有三个不同的实数解，则，解得，故选C.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程等知识点的综合运用，把方程的解得个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想方法和数形结合思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.2．已知函数，则（）A.当时，在单调递减B.当时，在单调递减C.当时，在单调递增D.当时，在单调递增【答案】D【解析】分析：求导然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论详解：，当令则，所以h（x）在（0,2）递减，（2，）递增，h（x）的最小值是h（2）=0，所以则在单调递增，选D点睛：考查导函数的应用，本题关键是二次求导后研究出函数的最值即可得出结论.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（）A.有极大值，没有最大值B.没有极大值，没有最大值C.有极大值，有最大值D.没有极大值，有最大值【答案】A【解析】分析：根据导函数点图象，得出当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，即可得到结论.详解：由题意，函数的图象可知，当时，函数先增后减；当时，函数先减后增，所以函数有极大值，没有最大值，故选A.点睛：本题主要考查了函数的单调性与极值与导数的关系，其中导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由，可得，，，利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，利用数形结合列不等式可得结果.详解：由题意可知，，即，，，由可以知道，在上递减，在上递增，有极小值，，，且时，，结合图象，要使关于的不等式的解集中恰有两个整数，则，即，实数的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.5．已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解...
