专题能力提升练二十五导数与不等式及参数范围问题(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知函数f(x)=x2lnx-a(x2-1)(a∈R),若f(x)≥0在00,h(x)单调递增,h(x)====,所以a≥.【加固训练】(2018·淮北一模)若存在实数x使得关于x的不等式(ex-a)2+x2-2ax+a2≤成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.不等式(ex-a)2+x2-2ax+a2≤成立,即为(ex-a)2+(x-a)2≤,表示点(x,ex)与(a,a)的距离的平方不超过,即最大值为.由(a,a)在直线l:y=x上,设与直线l平行且与y=ex相切的直线的切点为(m,n),可得切线的斜率为em=1,解得m=0,n=1,切点为(0,1),由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=ex的距离的最小值,可得(0-a)2+(1-a)2=,解得a=,则a的取值集合为.2.(2018·郑州一模)已知函数f(x)=ex+x2+lnx与函数g(x)=e-x+2x2-ax的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-e]B.C.(-∞,-1]D.【解析】选C.由题意知,方程g(-x)-f(x)=0在(0,+∞)上有解,即ex+2x2+ax-lnx-ex-x2=0,即x+a-=0在(0,+∞)上有解,即函数y=x+a与y=在(0,+∞)上有交点,y=的导数为y′=,当x>e时,y′<0,函数y=递减;当00,函数y=递增.可得x=e处函数y=取得极大值,函数y=x+a与y=在(0,+∞)上的图象如图:当直线y=x+a与y=相切时,切点为(1,0),可得a=0-1=-1,由图象可得a的取值范围是(-∞,-1].【加固训练】已知函数g(x)=a-x2≤x≤e,e为自然对数的底数与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()A.B.[1,e2-2]C.D.[e2-2,+∞)【解析】选B.函数g(x)=a-x2与h(x)=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,即函数f(x)=x2-a与h(x)=2lnx的图象有交点,即M(x)=f(x)-h(x)=x2-2lnx-a在区间上有零点.因为M′(x)=2x-=,故函数M(x)在区间上单调递减,在区间[1,e]上单调递增,即M(x)在x=1处取得最小值.要使M(x)与x轴有交点,则需M(1)=1-a≤0,即a≥1.另一方面M=+2-a,M(e)=e2-2-a,M(e)-M=e2--4>0,故M(e)=e2-2-a≥0,a≤e2-2,综上所述,实数a的取值范围是[1,e2-2].3.已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+>0,则函数F(x)=xf(x)+的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由F(x)=xf(x)+=0,得xf(x)=-,设g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x),因为x≠0时,有f′(x)+>0,所以x≠0时,>0,即当x>0时,g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,此时函数g(x)单调递增,此时g(x)>g(0)=0,当x<0时,g′(x)=f(x)+xf′(x)<0,此时函数g(x)单调递减,此时g(x)>g(0)=0,作出函数g(x)和函数y=-的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数F(x)=xf(x)+的零点个数为1个.4.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且对任意的不相等的实数x1,x2∈[0,+∞)有<0成立,若关于x的不等式f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在x∈[1,3]上恒成立,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.因为定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)为偶函数,因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,若不等式f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)对x∈[1,3]恒成立,即f(2mx-lnx-3)≥f(3)对x∈[1,3]恒成立.所以-3≤2mx-lnx-3≤3对x∈[1,3]恒成立,即0≤2mx-lnx≤6对x∈[1,3]恒成立,即2m≥且2m≤对x∈[1,3]恒成立.令g(x)=,则g′(x)=,在[1,e)上递增,(e,3]上递减,所以g(x)max=.令h(x)=,h′(x)=<0,在[1,3]上递减,所以h(x)min=.综上所述,m∈.5.已知x1是函数f(x)=x+1-ln(x+2)的零点,x2是函数g(x)=x2-2ax+4a+4的零点,且满足|x1-x2|≤1,则实数a的最小值是()A.2-2B.1-2C.-2D.-1【解析】选D.因为f′(x)=1-=,所以当-2-1时,f′(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得最小值f(-1)=0,所以f(x)只有唯一一个零点x=-1,即x1=-1,因为|x1-x2|≤1,所以-2≤x2≤0,所以g(x)在[-2,0]上有零点,(1)若Δ=4a2-4(4a+4)=0,即a=2±2,此时g(x)的零点为x=a,显然当a=2-2符合题意;(2)若Δ=4a2-4(4a+4)>0,即a<2-2或a>2+2,①若g(x)在[-2,0]上只有一个零点,则g(-2)g(0)≤0,所以a=-1;②若g(x)在[-2,0]上有两个零点,则解得-1≤a<2-2.综上,a的最...
