周周回馈练(五)一、选择题1．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A.y2＝16xB.y2＝－16xC.y2＝8xD.y2＝－8x答案A解析本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.2．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是()A.开口向上，焦点为(0,1)B．开口向上，焦点为C.开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，焦点为答案B解析抛物线y＝4x2的标准方程为x2＝，开口向上，焦点坐标为.故选B.3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为()A.2x－y＋3＝0B.2x－y－3＝0C.2x－y＋1＝0D.2x－y－1＝0答案D解析设切线方程为2x－y＋m＝0，联立得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.故选D.4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于R，过抛物线上点P(4，－4)作PQ⊥l于Q，则梯形PQRF的面积是()A.18B.16C.14D.12答案C解析由题意知PQRF为一直角梯形，其中PQ∥RF，且|PQ|＝4＋1＝5，|RF|＝2，∴S梯形PQRF＝×4＝14.故选C.5．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A.成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C.成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列答案A解析设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－＋|P3F|－＝2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.故选A.6．弦AB经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中错误的是()A.当AB与x轴垂直时，|AB|最小B.＋＝C.以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离D．y1y2＝－p2答案C解析过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦有下列性质：①其最短弦长为2p，此时AB⊥x轴；②x1x2＝，y1y2＝－p2；③以AB为直径的圆与准线相切；④＋＝.对照各选项，只有C中的说法错误．故选C.1二、填空题7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.答案6解析设N(0，a)，F(2,0)，那么M，点M在抛物线上，所以＝8，解得a＝±4，所以N(0，±4)，那么|FN|＝＝6.8．已知抛物线过原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则该抛物线的标准方程是________．答案x2＝16y解析由题意可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则1＋＝5，解得p＝8，即抛物线的标准方程为x2＝16y.9．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．答案32解析设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线的方程联立得y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.故最小值为32.三、解答题10．Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2＝2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝x，△AOB的面积为6，求该抛物线的方程．解因为OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝x，所以OB所在直线的方程为y＝－x.由得点A坐标，由得点B坐标为(6p，－2p)．|OA|＝|p|，|OB|＝4|p|，S△OAB＝|OA|·|OB|＝p2＝6，所以p＝±.即该抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.11．已知抛物线的方程为y2＝6x，直线l：y＝kx＋2与抛物线有两个不同的交点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)若k＝－1，求线段AB的中点M的坐标及|AB|.解(1)由消去y并整理，得k2x2＋(4k－6)x＋4＝0，依题意，得解得k<且k≠0.即实数k的取值范围是(－∞，0)∪.(2)当k＝－1时，得x2－10x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝10，x1x2＝4.∴y1＋y2＝－(x1＋x2)＋4＝－6.∴点M的坐标为(5，－3)．|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝2.12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点M(3，y0)到焦点F的距离等于4.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点(4,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABO面积的最小值．解(1)依题意可知|MF|＝3＋＝4，所以p＝2.故抛物线C的方程为：y2＝4x.(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．2①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4.由解得y1＝－4，y2＝4，所以S△ABO＝×4×|y1－y2|＝16.②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－4)(k≠0)．联立方程消去x得y2－y－16＝0，所以y1＋y2＝，y1·y2＝－16.所以S△ABO＝×4×|y1－y2|＝2＝2＝8>16.综合①②，△ABO面积的最小值为16.解法二：设直线l：x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程消去x得y2－4ty－16＝0，所以y1＋y2＝4t，y1·y2＝－16.所以S△ABO＝×4×|y1－y2|＝2＝2＝8.当t＝0时，S△ABO取得最小值16.3
