高考小题分项练10圆锥曲线1．椭圆＋＝1的两个焦点分别为点F1、F2，点P是椭圆上任意一点(非左右顶点)，则△PF1F2的周长为()A．6B．8C．10D．12答案C解析由＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，所以△PF1F2周长为2a＋2c＝6＋4＝10，故选C.2．已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线x2＝4y的准线相切，则实数m等于()A．±2B．±C.D.答案B解析因为圆x2＋y2＋mx－＝0，即(x＋)2＋y2＝与抛物线x2＝4y的准线相切，所以＝1，m＝±，故选B.3．点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为()A.B．2C.D．3答案C解析 △ABF2是等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又 |AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a. 在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×(－)＝28a2，解得c＝a，由此可得双曲线C的离心率e＝＝.4．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)向准线l作垂线，垂足为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是()A．y2＝xB．y2＝xC．y2＝2xD．y2＝4x答案D解析设抛物线方程为y2＝2px，则F(，0)，将A(3，y)代入抛物线方程得y2＝6p，y＝，由于△ABF为等边三角形，故kAF＝，即＝，解得p＝2.5．过双曲线x2－＝1右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10B．13C．16D．19答案B解析|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.6．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，直线AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为()A.B．1＋C．2D．2＋答案B解析由题意，得xA＝xB＝＝c，|yA|＝＝p＝2c，因此－＝1⇒＝⇒b2＝2ac⇒c2－a2＝2ac⇒e2－2e－1＝0⇒e＝1＋(负值舍去)，故选B.7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.x±y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x±2y＝0答案B解析a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，离心率为；双曲线C2的方程为－＝1，离心率为. C1与C2的离心率之积为，∴·＝，∴()2＝，＝，C2的渐近线方程为：y＝±x，即x±y＝0.故选B.8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知点F1、F2是一对相关曲线的焦点，点P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是()A．7－4B．2－C.－1D．4－2答案B解析由题意设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，且c＝c1.由题意·＝1，(*)又∠F1PF2＝30°，由余弦定理得：在椭圆中，4c2＝4a2－(2＋)|PF1||PF2|，在双曲线中，4c2＝4a＋(2－)|PF1||PF2|，可得b＝(7－4)b2，代入(*)得c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4，即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0，得e2＝7－4，即e＝2－，故选B.9．在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x2－2y2＝1的右支上的一个动点，若点P到直线x－2y＋2＝0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为()A．2B.C.D.答案C解析设点P(x，y)，由题意得[]min>m，而直线x－2y＋2＝0与渐近线x－2y＝0的距离为＝，因此[]min>，即m≤，实数m的最大值为，故选C.10．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0，c＝)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线C的右支于点P，若点E为PF的中点，则双曲线C的离心率为()A.＋1B.C.＋1D.答案C解析设双曲线C：－＝1(a>0，b>0，c＝)的右焦点是F′，则PF′的长是c，并且∠FPF′＝，∴|PF|＝c，从而c－c＝2a，∴e＝＋1，故选C.11．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y＝4x答案A解析 e＝＝⇒c＝a，∴b＝＝a，∴y＝±x＝±x，∴S△AOB＝··p＝4，∴p＝...
