第三章3.23.2.2A级基础巩固一、选择题1．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为(B)A．4B．8C．10D．12[解析]s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.2．函数y＝x·lnx的导数是(C)A．y′＝xB．y′＝C．y′＝lnx＋1D．y′＝lnx＋x[解析]y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(D)A．B．C．D．[解析]f′(x)＝3ax2＋6x， f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝.4．(2020·邵阳三模)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(D)A．B．C．D．[解析]f′(x)＝f′(－2)ex－2x；∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)；解得f′(－2)＝.故选D．5．(2020·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(A)A．－B．－C．D．[解析]f′(x)＝cosx＋sinx；∴f′(α)＝cosα＋sinα；又f′(α)＝3f(α)；∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；∴tan2α＝＝－.故选A．6．若函数f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，则f′(1)的值为(D)A．0B．－1C．1D．2[解析] f′(x)＝3f′(1)x2－4x，∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)＝2.二、填空题7．(2018·全国Ⅱ文，13)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为__y＝2x－2__.[解析]因为y′＝，y′＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.8．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝__2__.[解析] f′(x)＝(xsinx)′＝x′sinx＋x·(sinx)′＝sinx＋xcosx∴f′()＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，∴1×(－)＝－1，∴a＝2.三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，可知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴，即，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.B级素养提升一、选择题1．不可能以直线y＝x＋b作为切线的曲线是(C)A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝D．y＝ex[解析]若y＝，则y′＝－<0，∴曲线y＝上任意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不可能为y＝x＋b.2．已知函数f(x)＝在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋3＝0平行，则实数a的值为(B)A．2B．4C．6D．8[解析]f′(x)＝，f′(1)＝，而直线斜率为，∴＝，∴a＝4.3．曲线y＝在点(0，f(0))处的切线方程为(A)A．x－2y＝0B．2x－y＝0C．x－4y＝0D．4x－y＝0[解析] y′＝＝，∴k＝y′|x＝0＝， f(0)＝0，∴切线方程为：y＝x，即x－2y＝0.4．(多选题)下列求导计算错误的是(ACD)A．′＝B．(log2x)′＝C．(2x)′＝2x×D．(xsinx)′＝cosx[解析]A选项应为，B选项正确，C选项应为2xln2，D选项应为sinx＋xcosx.故选ACD．5．(多选题)已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值可以为(AD)A．4B．2C．－4D．－2[解析] f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，于是解得m＝－2或m＝4.故选AD．二、填空题6．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__.[解析] f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exlnx＋，∴f′(1)＝e.7．(2020·全国卷Ⅰ文，15)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__y＝2x__.[解析]设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝(＋1)|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.三、解答题8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析](1) f′(x)＝3x2＋1...
