6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课后篇巩固提升夯实基础1.在△ABC中,M是BC的中点.若⃗AB=a,⃗BC=b,则⃗AM=()A.12(a+b)B.12(a-b)C.12a+bD.a+12b答案D解析在△ABC中,M是BC的中点,又⃗AB=a,⃗BC=b,所以⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+12⃗BC=a+12b,故选D.2.已知⃗AB=a+5b,⃗BC=-2a+8b,⃗CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案A解析⃗BD=⃗BC+⃗CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=⃗AB,所以A,B,D三点共线.3.下面四种说法:①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.1答案C解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.4.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则⃗EB=()1A.34⃗AB−14⃗ACB.14⃗AB−34⃗ACC.34⃗AB+14⃗ACD.14⃗AB+34⃗AC答案A解析如图,⃗EB=-⃗BE=-12¿)=12⃗AB−14⃗BC=12⃗AB−14¿)=34⃗AB−14⃗AC.5.已知△ABC中,向量⃗AP=λ(⃗AB+⃗AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则⃗AB+⃗AC=2⃗AD,∴⃗AP=2λ⃗AD,即P点在中线AD上,可知P点轨迹必过△ABC的重心,故选D.6.(多选)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是()A.2a=bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|答案AC解析a|a|,b|b|分别表示a,b的单位向量.2对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|;对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|.综上所述,使a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.选AC.7.化简3(2a-3b)-2(2b-3a)=.答案12a-13b解析由题意,可得3(2a-3b)-2(2b-3a)=6a-9b-4b+6a=12a-13b.8.已知点P在直线AB上,且|⃗AB|=4|⃗AP|,设⃗AP=λ⃗PB,则实数λ=.答案13解析因为|⃗AB|=4|⃗AP|,所以P是四等分点,因此⃗AP=13⃗PB,故填13.9.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,⃗AB=a,⃗AC=b.(1)用a,b分别表示向量⃗AE,⃗BF;(2)求证:B,E,F三点共线.解(1) ⃗AD=12¿)=12(a+b),∴⃗AE=23⃗AD=13(a+b),3 ⃗AF=12⃗AC=12b,∴⃗BF=⃗AF−⃗AB=-a+12b.(2)由(1)知⃗BF=-a+12b,⃗BE=-23a+13b=23-a+12b,∴⃗BE=23⃗BF.∴⃗BE与⃗BF共线.又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.能力提升1.(多选)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=√5-12.下列关系中不正确的是()A.⃗BP−⃗TS=√5+12⃗RSB.⃗CQ+⃗TP=√5+12⃗TSC.⃗ES−⃗AP=√5-12⃗BQD.⃗AT+⃗BQ=√5-12⃗CR答案BCD解析在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=√5-12.在A中,⃗BP−⃗TS=⃗TE−⃗TS=⃗SE=√5+12⃗RS,故A正确;在B中,⃗CQ+⃗TP=⃗PA+⃗TP=⃗TA=√5+12⃗ST,故B错误;在C中,⃗ES−⃗AP=⃗RC−⃗QC=√5-12⃗QB,故C错误;4在D中,⃗AT+⃗BQ=⃗SD+⃗RD,√5-12⃗CR=⃗RS=⃗RD−⃗SD,若⃗AT+⃗BQ=√5-12⃗CR,则⃗SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.2.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)⃗GA+⃗GB+⃗GC=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG.正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D解析△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,选项(1)正确;对于(2),根据三角形的重心性质得⃗GA+⃗GB+⃗GC=0,选项(2)正确;对于(3), AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,∴AHOD=AGDG=2,∴AH=2OD,选项(3)正确;对于(4),过点G作GE⊥BC,垂足为E,则¿AN=DGDA=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12×BC×GE=12×BC×13×AN=13S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,选项(4)正确.故选D.3.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若⃗EC=λ⃗AD+μ⃗AB,则λ+μ=,若E在线段AD上,异于A,D两点,则...
