学习椭圆要有四观椭圆的学习是学习圆锥曲线的第一道门槛，学习好椭圆对后续学习双曲线、抛物线均有莫大的益处.本文介绍椭圆学习中常用的四个观点，愿能使同学们摆脱解题时急于求成、乱碰乱撞、解题失败等现象.一、细致的审题观审题观是指审题中要思考的“要什么、求什么、给什么、用什么”等常规审题思维观.例1解方程22103801038020xxxx．分析：观察方程的特点,极易让人联想起椭圆的定义,结合题中的要求,可得如下解法.解：将方程变形为22(53)5(53)520xx．令25y，原方程转化为方程组22222(53)(53)205xyxyy，，此方程组的解可转化为直线5y与椭圆22110025xy的交点，交点的横坐标就是方程的解，解得原方程的解为45x．二、科学的估算观科学的估算观是指应用科学的方法,对解题的方向、解题的过程、解题的结果、解题的结论数据等做出估算的直觉意识观.例2已知椭圆22221(0)xyabab与x轴的正半轴交于点AO，是原点，若椭圆上存在一点M，使MAMO，求椭圆的离心率的取值范围．分析：从题目表面上看不到有关确定椭圆率心率取值范围的条件，但据MAMO与点M在椭圆上，可估算应先找出abc，，的关系式，对解题过程的估算可求出点M的横坐标，再结合条件(0)xa，，从而使问题得解．解：设()Mxy，，则MAMO，得1yyxxa·．将其与椭圆方程联立，消去y得222()()0xabxaxba．由xa，得22222ababxabc．()Mxy，∵在椭圆上，xaa，∴，又MAMO，则(0)xa，，即220abac，2201bc∴，2222212abccc，则2212ca，22e∴．又01e∵，212e∴．三、灵活的转化观灵活的转化观是指为了避免解题过程的繁冗，灵活转换问题视角，另辟蹊径，将问题转用心爱心专心化为简单易解的等价问题的构造性思维观.例3已知椭圆221259xy和直线:5lyxm，当m在什么范围取值时，能使椭圆上存在两点AB，关于l对称？分析：要使l垂直平分弦AB，AB的中点P可视为：与l垂直的弦中点的轨迹与直线l的交点．因此，问题可转化为先求AB中点P的轨迹方程．解：设()()AxaybBxayb，，，，则()Pxy，．由题意22()()1259xayb，（1）22()()1259xayb，（2）1115ABbkak，（3）（2）－（1），得：440259axby．（4）由（3），（4）可得：95yx．∵点P在椭圆内，95yx代入椭圆可解得交点横坐标为102x，故P点的轨迹方程为91010522yxx．由95yx及5yxm，可解得516xm．105102162m∴，即当81081055m时，在椭圆上存在两点关于l对称．四、不懈的探索观不懈的探索观是指要具有对问题作持之以恒的探究观.例4设()Mxy，是椭圆22221(0)xyabab上的动点，(0)Am，是x轴上的定点，试求AM的最值．解：设AMd，则2222222222222()()cabcmdAMxmyxmacc，其中xa≤．（1）若2cma，则22amac，∴当xa时，mindam；当xa时，maxdam；用心爱心专心（2）若20cma，，则220aamc≤，∴当22axmc，4222bycamc时，22minbdcmc；当0xay，时，maxdam；（3）若20cma，，则220amac，∴当22axmc，4222bycamc时，22minbdcmc；当xa，0y时，maxdam；（3）若2cma，∞，则22amac≥，∴当0xay，时，mindam；当0xay，时，maxdam．用心爱心专心
