11空间向量在立体几何中的应用1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,BB1的中点,则异面直线A1M与AN所成角的大小为.解析▶以D点为坐标原点,⃗DA、⃗DC、⃗DD1的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),M(0,12,0),N(1,1,12),A1(1,0,1),所以⃗AN=(0,1,12),⃗A1M=(-1,12,-1).因为⃗AN·⃗A1M=0,所以异面直线A1M与AN所成的角为90°.答案▶90°2.已知空间四边形OABC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,⃗OG=16⃗OA+13⃗OB+13⃗OC,则G点为线段MN的等分点.解析▶ ⃗OG=16⃗OA+13⃗OB+13⃗OC,∴⃗OG=16⃗OA+23⃗ON,∴⃗OG=13⃗OM+23⃗ON=23(⃗ON-⃗OM)+⃗OM,∴⃗OG-⃗OM=⃗MG=23⃗MN,故G点为靠近N点的3等分点.答案▶33.三棱锥S-ABC如图所示,SA⊥AB,SA⊥AC,∠BAC=90°,AB=AC=12AS=2,D点在棱SB上且SD=12DB,P点在棱SA上,则⃗PD·⃗PC的最小值为.解析▶以A点为坐标原点,⃗AB、⃗AC、⃗AS的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,b)(其中0≤b≤4),D(23,0,83),⃗PD=(23,0,83-b),⃗PC=(0,2,-b),⃗PD·⃗PC=b2-83b,所以当b=43时,⃗PD·⃗PC取到最小值,最小值为-169.答案▶-1694.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是BD1的中点,M是侧面ADD1A1上一点,若OM⊥AA1且OM⊥BD1,则点M的坐标为.解析▶以D点为坐标原点,⃗DA、⃗DC、⃗DD1的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(a,0,b),B(1,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),O(12,12,12),⃗AA1=(0,0,1),⃗OM=(a-12,-12,b-12),⃗BD1=(-1,-1,1).因为OM⊥AA1且OM⊥BD1,所以{⃗BD1·⃗OM=0,⃗AA1·⃗OM=0,解得a=1,b=12,所以点M的坐标为(1,0,12).答案▶(1,0,12)能力1▶利用空间向量法求空间角【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2❑√3,且AC与BD交于点O,E是PB上任意一点.(1)求证:AC⊥DE.(2)已知二面角A-PB-D的余弦值为❑√155,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.解析▶(1) PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC.又 四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC. BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD. DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.(2)当E为PB的中点时,连接OE,可得OE∥PD且OE=12PD.又因为PD⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.分别以⃗OA,⃗OB,⃗OE的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,设PD=t(t>0),则A(1,0,0),B(0,❑√3,0),C(-1,0,0),E(0,0,t2),P(0,-❑√3,t),⃗AB=(-1,❑√3,0),⃗AP=(-1,-❑√3,t).易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),则{n2·⃗AB=0,n2·⃗AP=0,即{-x+❑√3y=0,-x-❑√3y+tz=0,取y=1,得x=❑√3,z=2❑√3t,∴n2=(❑√3,1,2❑√3t). 二面角A-PB-D的余弦值为❑√155,∴|cos|=❑√155,即❑√3❑√4+12t2=❑√155,∴t=2❑√3,∴P(0,-❑√3,2❑√3).设EC与平面PAB所成的角为θ, ⃗EC=(-1,0,-❑√3),n2=(❑√3,1,1),∴sinθ=|cos<⃗EC,n2>|=2❑√32×❑√5=❑√155.利用“向量法”求解空间角时,要注意基向量的选择或坐标系的正确建立等.求线面角时,先求出平面的法向量,再求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角,最后得出线面角.求二面角时,先求出二面角中两个平面的法向量,再求出法向量的夹角,最后求出二面角.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值.解析▶(1)如图,以⃗AB,⃗AC,⃗AA1为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),B1(2,0,4),C1(0,2,4),∴⃗A1B=(2,0,-4),⃗AD=(1,1,0),⃗AC1=(0,2,4).设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z),则{⃗AD·m=0,⃗AC1·m=0,即{x+y=0,2y+4z=0,取z=1,得y=-2,x=2,∴平面ADC1的一个法向量为m=(2,-2,1).由此可得,⃗A1B·m=2×2+0×(-2)+(-4)×1=0.又 A1B⊄平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1.(2)⃗B1C1=(-2,2,0),设直线B1C1与平面ADC1所成角为θ,则sinθ=|cos<⃗B1C1,m>|=|⃗B1C1·m||⃗B1C1||m|=2❑√23.又 θ为锐角,∴直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值为13.能力2▶利用空间向量法解决翻折问题【例2...
