热点四数列【考点精要】考点一.等差、等比数列的定义.等差数列的前项和在公差不为0时是关于的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和.则数列为等差数列的充要条件是；在等差数列中,也是等差数列.在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注.如是等比数列，则就不一定是等比数列.考点二.数列的递推关系.解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行转换.把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理.转化的常用方法有：(1)待定系数法.如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列.(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为.(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等．解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、注意的取值，不能出错．考点三.分段数列.通过考查分段函数进而明晰数列在不同的范围内赋予不同的意义.如：数列中，=求.考点四.数列的通项公式以及前n项和.数列的通项公式以及前项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性.高考中诸多题目均能涉及.数列求和的常用方法：（1）公式法：（1）等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______（答：）（2）分组求和法：（答：）（3）倒序相加法：＝______（答：）（4）错位相减法：（1）设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）.（5）裂项相消法：（1）求和：（答：）；（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）（6）通项转换法：求和：（答：）如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.考点五．等差数列前n项和最值的求法：⑴；⑵利用二次函数的图象与性质.考点六.考查数列（其中均为常数，.一般地，要先在原递推公式两边同除以，进行化简求解.巧点妙拨1．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；掌握数列通项与前n项和之间的关系.2．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和，（4）利用数列的周期性求和，（5）利用正整数的方幂和公式求和等.3．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.4.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项.5.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式.6.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向.【典题对应】例1.(2014·山东理19)已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）令=求数列的前项和.命题意图：本题主要考查数列的通项公式，前n项和公式，分情况讨论求和，考查学生的衍生数列的应对策略以及分类讨论思想.解析：（I）解得（II）名师坐堂：数列求和的方法较多，运用何种方法关键是分析好通项公式，当通项公式中含有时要进行讨论.例2．(2012·山东理20)在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.命题意图：主要考查等差数列中等差中项的性质及数列求和的方法.解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，，于是，即.（Ⅱ）对任意m∈N﹡，，则，即，而，由题意可知，于是，即.名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力.例3．（2013·山东理）设等差数列的前n项和为,且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数...
