考点规范练26平面向量的应用考点规范练B册第16页基础巩固组1.在△ABC所在平面上有一点P,满足,则△PAB与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.答案:A解析:由已知可得=2,∴P是线段AC的三等分点(靠近点A),易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.2.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足=x2-6,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:D解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x.3.在△ABC中,()·=||2,则△ABC的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由()·=||2,得·()=0,即·()=0,2=0,∴,∴A=90°.又根据已知条件不能得到||=||,故△ABC一定是直角三角形.4.在锐角三角形ABC中,若BC=2,sinA=,则的最大值为()A.B.C.1D.3答案:C解析:设△ABC三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc×=4,由基本不等式可得4≥bc,即bc≤3,当且仅当b=c时,等号成立.所以=bccosA=bc≤1.5.在△ABC中,=(,-1),=(1,-),则cosB=()A.-B.C.D.0答案:A解析:∵在△ABC中,=(,-1),=(1,-),∴||=2,||=2,=(-,1).∴cosB==-,选A.6.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心导学号〚32470764〛答案:C解析:假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的垂直平分线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心,选C.7.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.导学号〚32470765〛答案:A解析:由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴-3<0.①又∵=1,∴=2+2.代入①得,∴-b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1.(1)求椭圆E的方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得+λ为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点P的坐标为(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=.所以椭圆E方程为=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-,x1x2=-.从而,+λ=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1==--λ-2.所以,当λ=1时,--λ-2=-3.此时,+λ=-3为定值.当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.此时,+λ=-2-1=-3.故存在常数λ=1,使得+λ为定值-3.导学号〚32470768〛
