高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

等比数列及其前n项和时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为()A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】因为a3＝2，a4a6＝16，所以a4a6＝aq4＝16，即q4＝4，则＝＝q4＝4，故选B.2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，则S2015＝()A.22015－1B.21009－3C.3×21007－3D.21008－3【答案】B【解析】∵a1＝1，an＋1·an＝2n，∴an≠0，a2＝2，当n≥2时，an·an－1＝2n－1.∴＝＝2(n≥2),∴数列{an}中奇数项，偶数项分别成等比数列，∴S2015＝＋＝21009－3，故选B.3.设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.B.C.D.【答案】B【解析】设此数列的公比为q(q＞0)由已知，a2a4＝1，得a＝1，所以a3＝1，由S3＝7，知a3＋＋＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝，进而a1＝4.所以S5＝＝，4.已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为()A.16B.8C.6D.4【答案】B【解析】∵a4a14＝(2)2＝8，即a4a14＝a＝8，∴a9＝2.则2a7＋a11＝＋a9q2≥2＝2×a9＝8，当且仅当＝a9q2，即q4＝2时取等号.5.数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于()A.1B.－1C.D.2【答案】D【解析】由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.6..等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝()A.31B.36C.42D.48【答案】A【解析】a3·a5＝a2·a6＝64，又q>1，a3＋a5＝20，所以a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故选A.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，则该数列的通项公式为________.【答案】an＝2n＋1－1【解析】∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋1＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－1.18.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.【答案】(1－4－n)【解析】a5＝＝a2·q3＝2·q3，解得q＝，易知数列{an·an＋1}仍是等比数列，其首项是a1a2＝8，公比为，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n).9.(2014·大纲全国，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于__________.【答案】4【解析】lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝410.(2016·全国Ⅰ，15)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________.【答案】64【解析】设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得∴a1a2…an＝＝＝，当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*).(1)证明数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝n(n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】见解析【解析】(1)证明由已知可得＝，∴＝＋1，即－＝1，∴数列{}是公差为1的等差数列.(2)解由(1)可得＝＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝.(3)解由(2)知，bn＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，两式相减得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.12.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足a＝4Sn＋4n＋1(n∈N*)，且a2，a5，a14恰为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，对任意n∈N*，k≥3n－6恒成立，求实数k的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)∵a＝4Sn＋4n＋1(n∈N*)，∴a＝4Sn－1＋4(n－1)＋1(n≥2)，两式相减得a－a＝4an＋4(n≥2)，∴a＝(an＋2)2(n≥2)，又an>0，故an＋1＝an＋2(n≥2)又a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3，又a＝4S1＋4＋1，故a1＝S1＝1.∴a2－a1＝3－1＝2.故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.∴an＝2n－1，由题意知b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，b3＝a14＝27，从而可得bn＝3n，(2)由(1)知Tn＝＝.∴k≥3n－6对任意的n∈N*恒成立，即k≥对任意的n∈N*恒成立，令cn＝，则cn－cn－1＝－＝(n≥2)，故当n＝2或3时Cn>Cn－1，当n≥4时，cn