命题角度3：利用导数研究函数的零点、方程的根1.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，方程有实数根.【解析】试题分析：（1）函数求导，从而得单调区间；（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围.（2）由题得，.依题意，方程有实数根，即函数存在零点.又.令，得.当时，.即函数在区间上单调递减，而，.所以函数存在零点；当时，，随的变化情况如下表：所以为函数的极小值，也是最小值.当，即时，函数没有零点；当，即时，注意到，，所以函数存在零点.综上所述，当时，方程有实数根.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.2.已知函数，.（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；（2）设，若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.试题解析：对函数求导，得，对函数求导，得。设直线与切于点，与切于.则在点处的切线方程为：，即.在点处的切线方程为：，即.这两条直线为同一条直线，所以有由（1）有，代入（2）中，有，则或.当时，切线方程为，所以,当时，切线方程为，所以.（2）。求导：，显然在上为减函数，存在一个，使得，且时，，时，，所以为的极大值点。由题意，则要求.由，有，所以，故.令，且。，在上为增函数，又，要求，则要求，又在上为增函数，所以由，得。综上，【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.3.已知函数.（1）求在区间上的最值；（2）若过点可作曲线的3条切线，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）最大值是10+a，最小值是(Ⅱ)．【解析】试题分析：（1）求导数，分析函数的单调性，可求函数的最大小值；（2）利用导数的几何意义，转化为方程有3根，再利用函数的单调性，根据函数变化情况写出对应的约束条件即可求解.(Ⅱ)设切点，则，整理得，由题知此方程应有3个解．令，∴，由解得或，由解得，即函数在，上单调递增，在上单调递减．要使得有3个根，则，且，解得，即a的取值范围为．4.已知函数．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．【答案】（1）当时，轴是曲线的切线（2）当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出；（2）先确定函数的解析表达式的情形，再运用分类整合思想分或和分类讨论函数的零点的个数问题，进而求出对应的参数的取值范围：（1）设曲线与轴相切于点，则，即，解得：，因此，当时，轴是曲线的切线；（2）当时，，从而，∴在无零点，当时，若，则，，故是的零点；若，则，，故不是的零点，当时，，所以只需考虑在的零点个数，（Ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点；③若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点．综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．点睛：导数是研究函数的单调性、极值最值的重要而有效工具。本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，先对已知函数解析式进行求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出解析式中的参数进而获解；解答本题的第二问时，先确定函数的解析式，再运用分类整合思想分类讨论函数的零点的个数问题以及对应的参数的范围，从而体现了分类整合思想在解决问题中的综合运用。5.已知函数，（为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数的极值点的个...
