四直角三角形的射影定理一、基础达标1.如图所示，在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于点Q，NQ＝3，则MN等于()A.3PNB.PNC.D.9PN解析∵MN⊥MP，MQ⊥PN，∴MN2＝NQ·PN，又NQ＝3，∴MN＝＝.答案C2.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则＝()A.B.C.D.解析如图，由射影定理得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC∴＝＝，即＝，∴＝.答案C3.如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A.CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC.AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2解析在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB，故选A.答案A4.已知在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，若AD＝p，BD＝q，则tanA的值是()A.p∶qB.∶qC.∶pD.∶解析由已知可利用射影定理得：CD＝，在Rt△ACD中tanA＝＝.答案C5.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.解析∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴AC＝＝2，由射影定理得：BC2＝CE·AC，∴CE＝＝.又在Rt△BEC中，cos∠BCE＝＝，∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°，由余弦定理可求DE2＝.∴DE＝.答案6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长.解∵CD⊥AB，即∠CDB＝90°，∵DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，∴DE＝2，CD2＝CE·BC＝16，∴CD＝4，∵BD2＝BE·BC＝48，∴BD＝4，在Rt△ABC中，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，1∴AD＝＝＝.二、能力提升7.如图所示，在△ABC中，CD⊥AB，BD＝AB－AC，则∠BAC等于()A.60°B.30°C.45°D.75°解析∵BD＝AB－AC，∴AB－BD＝AC＝AD，又∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，在Rt△ADC中，由AD＝AC，则∠BAC＝60°.答案A8.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________.解析如图，依题意有AB＝5(cm)，连接CD，则CD⊥AB，所以BC2＝BD·AB，所以BD＝＝(cm).答案9.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的面积比为________.解析由已知可设AD＝2x，则BD＝3x，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD＝6x2，∴CD＝x，∴S△ACD∶S△CBD＝＝＝.答案10.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.求证：(1)AB·AC＝AD·BC；(2)AD3＝BC·BE·CF；(3)＝.证明(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD.(2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB.同理，在Rt△ADC中，DF⊥AC，∴CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BD2·DC2，即AD4＝BE·AB·CF·AC.由(1)知AB·AC＝BC·AD，∴AD4＝BE·CF·BC·AD，∴AD3＝BE·CF·BC.(3)由射影定理得BD2＝BE·AB，∴BE＝.①又CD2＝CF·AC，∴CF＝，②2由①÷②得＝·＝·.③又∵AB2＝BD·BC，∴BD＝，同理，AC2＝CD·BC，∴CD＝，∴＝.④将④代入③得＝·＝，即＝.11.如图，在△ABC中，D，F分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.解在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC.又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即AF2＝x2－1，∴AF＝.在△BDC中，过D作DE⊥BC于E.∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝x2.又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴＝，∴DE＝＝.在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，即＋＝12，∴＋＝1.整理得x6＝4，∴x＝，即AC＝.三、探究与创新12.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，S＝S△ABC·S△ADC.求证：BD＝AC.证明如图，∵S＝S△ABC·S△ADC，即＝，∴＝，即＝，∴BD2＝AB·AD.由射影定理，得AC2＝AD·AB，∴AC2＝BD2，即AC＝BD.3
