高考小题分项练10圆锥曲线1．椭圆＋＝1的两个焦点分别为点F1，F2，点P是椭圆上任意一点(非左，右顶点)，则△PF1F2的周长为________．答案10解析由＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，所以△PF1F2周长为2a＋2c＝6＋4＝10.2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________．答案解析抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，双曲线－＝1渐近线为y＝±x,3x±4y＝0，所求距离为d＝＝.3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(1，2)在C的渐近线上，则C的方程为__________．答案－＝1解析由题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，且c＝5.因为点P(1,2)在C的渐近线上，所以b＝2a，所以a2＝5，b2＝20.4．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为______米.答案8解析以顶点为坐标原点，平行水面的直线为x轴建系，设抛物线方程为x2＝my，因为过点(8，－4)，所以m＝－16，令y＝－1得|x|＝4，从而水面的宽度为8米．5．设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________．答案解析不妨设－＝1，F(c,0)，则点P(－c，±2b)，从而有－＝1⇒＝5⇒e＝.6．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，直线AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为________．答案1＋解析由题意，得xA＝xB＝＝c，|yA|＝＝p＝2c，因此－＝1⇒＝⇒b2＝2ac⇒c2－a2＝2ac⇒e2－2e－1＝0⇒e＝1＋(负值舍去)．7．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为____________．答案x±y＝0解析a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，离心率为；双曲线C2的方程为－＝1，离心率为.∵C1与C2的离心率之积为，∴·＝，∴()2＝，＝，C2的渐近线方程为：y＝±x，即x±y＝0.8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知点F1、F2是一对相关曲线的焦点，点P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是________．答案2－解析由题意设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，且c＝c1.由题意·＝1，(*)又∠F1PF2＝30°，由余弦定理得：在椭圆中，4c2＝4a2－(2＋)PF1·PF2，在双曲线中，4c2＝4a＋(2－)PF1·PF2，可得b＝(7－4)b2，代入(*)得c4＝aa2＝(c2－b)a2＝(8－4)c2a2－(7－4)a4，即e4－(8－4)e2＋(7－4)＝0，得e2＝7－4，即e＝2－.9．在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x2－2y2＝1的右支上的一个动点，若点P到直线x－2y＋2＝0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为________．答案解析设点P(x，y)，由题意得[]min>m，而直线x－2y＋2＝0与渐近线x－2y＝0的距离为＝，因此[]min>，即m≤，实数m的最大值为.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.若椭圆C的中心到直线AB的距离为F1F2，则椭圆C的离心率e＝______.答案解析设椭圆C的焦距为2c(c
0，b>0)的离心率为，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线C的渐近线交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为__________．答案y2＝8x解析∵e＝＝⇒c＝a，∴b＝＝a，∴y＝±x＝±x，∴S△AOB＝··p＝4，∴p＝4，∴抛物线的标准方程是y2＝8x.12．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案＋1解析因为MF1的中点P在双曲线上，PF2－PF1＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.13．已知点P在抛物线y2＝4x上，当点P到直线y＝x＋4的距离最短时，点P的坐标是________．答案(1,2)解析设P(，y)，则点P到直线y＝x＋4的距离d＝＝，当y＝2时，d取得最小值．把y＝2代入y2＝4x，得x＝1，所以点P的坐标为(1,2)．14．已知点F1，F2分别为椭圆＋＝1的左，右焦点，点M为椭圆上一点，且△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.答案25解析由椭圆的对称性，知满足题意的点M是椭圆短轴的端点，MF1＝MF2＝a.设内切圆半径为r，则2πr＝3π，r＝，又×(2a＋2c)r＝×2c×4，所以(a＋)×＝4，解得a2＝25.
