第7课时离散型随机变量的综合应用基础达标(水平一)1.已知X的分布列为X-101Pm有以下三个结论:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】由分布列知P(X=0)=,E(X)=(-1)×+1×=-,∴D(X)=×+×+×=.故①③正确.【答案】C2.已知离散型随机变量ξ的分布列如下:ξ012P0.33k4k若随机变量η=2ξ+1,则η的数学期望为().A.1.1B.3.2C.2.2D.4.4【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1,∴E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.【答案】B3.某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若命中一次得10分,没命中不得分,命中次数为X,得分为Y,则E(X),D(Y)分别为().A.0.6,60B.3,12C.3,120D.3,1.2【解析】由题意知X~B(5,0.6),Y=10X,∴E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2.∴D(Y)=100D(X)=120,故选C.【答案】C4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,若小明一周内每天都在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他连续5天等车时间不超过10分钟的期望和方差分别是().1A.和B.和C.和D.和【解析】如图,画出时间轴.小明到达发车站的时刻会随机地落在图中线段AB上,而当他到达发车站的时刻落在线段AC或DB上时,才能保证他等车的时间不超过10分钟.根据几何概型,所求概率P==.因为小明一周内每天等车时间不超过10分钟的概率都相同,所以小明连续5天等车时间不超过10分钟的天数符合二项分布.依题意可得X~B.所以E(X)=np=5×=,D(X)=np(1-p)=5××=.【答案】B5.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.【解析】设P(ξ=1)=p,则P(ξ=2)=-p.由E(ξ)=0×+1×p+2×=1,得p=.故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.【答案】6.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖,且相应获奖概率是以a1为首项,2为公比的等比数列,相应奖金是以700元为首项,-140元为公差的等差数列,则参与该游戏获得奖金的期望为元.【解析】 a1+2a1+4a1=1,∴a1=,∴E(ξ)=×700+×560+×420=500(元).【答案】50027.某师大附中高一研究性学习小组,在某一高速公路服务区,从小型汽车中按进服务区的先后,以每间隔10辆就抽取1辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行询问调查.将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],统计后得到如图所示的频率分布直方图.(1)此研究性学习小组在采集中,用到的是什么抽样方法?并求这20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值;(2)若从车速在[80,90)内的车辆中任意抽取3辆,求车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆的概率;(3)若从车速在[90,100]内的车辆中任意抽取3辆,求车速在[90,95)内的车辆数的数学期望.【解析】(1)此研究性学习小组在采样中,用到的抽样方法是系统抽样.这20辆小型汽车车速的众数的估计值为87.5km/h,中位数的估计值为87.5km/h.(2)车速在[80,90)内的车辆有(0.2+0.3)×20=10辆,其中车速在[80,85)和[85,90)内的车辆分别有4辆和6辆.设事件Ai为“车速在[80,85)内有i辆车”,事件Bj为“车速在[85,90)内有j辆车”,事件A为“车速在[80,85)和[85,90)内都有车辆”,∴P(A)=P(A2B1)+P(A1B2)=+=.(3)车速在[90,100]内的车辆共有7辆,车速在[90,95)和[95,100]内的车辆分别有5辆和2辆.若从车速在[90,100]内的车辆中任意抽取3辆,设车速在[90,95)内的车辆数为X,则X的可能取值为1,2,3.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X123P∴车速在[90,95)内的车辆数的数学期望为E(X)=1×+2×+3×=.拓展提升(水平二)8.已知随机变量X的分布列为3XmnPa若E(X)=2,则D(X)的最小值为().A.0B.2C.4D.无法计算【解析】依题意有a=1-=,所以E(X)=m+n=2,即m+2n=6.又D(X)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以当n=2时,D(X)有最小值0.【答案】A9.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=().A.2B.1C.3D.4【解析】ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为ξ012PE(ξ)=0×+1×+2×=,所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=3.【答案】C10.退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段...
