第3讲数列的综合问题专题复习检测A卷1．等比数列{an}中，若a1＝1，a10＝2，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝()A．2B．4C．5D．10【答案】C【解析】 {an}为等比数列，∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝2.∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1a2…a10)＝log225＝5.故选C．2．(2018年四川成都模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n的值为()A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d. ＝a1＋d，∴是首项为a1，公差为的等差数列． a1＝9，－＝－4，∴－4＝4×，解得d＝－2.∴Sn＝9n－×2＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25.∴当n＝5时，Sn取得最大值．3．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝()A．(n－1)2nB．(n－1)3nC．n·2nD．n·3n【答案】C【解析】由题意知a1＝f(2)＝2，an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，则＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列．所以＝n，则an＝n·2n.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，3)C．(－∞，4)D．(－∞，5)【答案】A【解析】 Sn＝3n(λ－n)－6，∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1.两式相减，得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*)为单调递减数列，∴an＞an＋1，且a1＞a2.∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)且λ＜2，化为λ＜n＋2(n＞1)且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是(－∞，2)．故选A．5．某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元．若把楼房建成n层后，每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，则n的值为()A．19B．20C．21D．22【答案】B【解析】易知每层的建筑费用构成等差数列，设为{an}，则n层的建筑总费用为Sn＝600×103＋(600＋40)×103＋…＋[600＋40(n－1)]×103＝(2n2＋58n)×104，所以每平方米的平均综合费用为＝10≥10＝1380元，当且仅当2n＝，即n＝20时等号成立．6．在等比数列{an}中，an∈R，a3，a11是方程3x2－25x＋27＝0的两根，则a7＝________.【答案】3【解析】由题意，得∴a3＞0，a11＞0，且a＝a3a11＝9，∴a7＝3.7．(2018年江西南昌模拟)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列．若a1a6a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是________．【答案】－【解析】由a1a6a11＝3，得a＝()3.由b1＋b6＋b11＝7π，得3b6＝7π.∴a6＝，b6＝.∴tan＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.8．(2019年湖南长沙模拟)设数列{an}的前n项和是Sn，若点An在函数f(x)＝－x＋c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝aan，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．【解析】(1)由题意得＝－n＋c，即Sn＝－n2＋cn.因为a1＝3，所以c＝4，故Sn＝－n2＋4n.所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)．又a1＝3满足上式，所以an＝－2n＋5.(2)由(1)知bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋5＝4n－5，所以Tn＝＝2n2－3n.所以Tn的最小值是T1＝－1.B卷9．(2019年安徽合肥模拟)如图所示是毕达哥拉斯树(PythagorasTree)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为()A．B．C．D．【答案】A【解析】设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1023，即＝1023，解得n＝10.正方形边长构成数列，2，3，…，其中第10项为10＝.故选A．10．(2019年浙江湖州模拟)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】 Ai＝aiai＋1，若{An}为等比...
