一、由数列的前几项求数列的通项公式培优点十一数列求通项公式例1：根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式；（1），，，，；（2），，，，；（3），，，；；（4），，，，．【答案】（1），；（2），；（3），；（4）．【解析】（1）各数都是偶数，且最小为，所以它的一个通项公式，．（2）这个数列的前项的绝对值都等于序号与序号加的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式，．（3）这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为，公差为，二、由与的关系求数列的通项公式所以它的一个通项公式为，．（4）将原数列改写为，，，易知数列，，，的通项为，故数列的一个通项公式为．例2：（1）已知为数列的前项和，且，则．（2）记为数列的前项和．若，则．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，当时，；当时，，所以数列的通项公式为．三、由递推关系式求数列的通项公式（2） ，当时，，∴，即．当时，，得．∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．例3：（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为．（2）在数列中，，，则数列的通项公式为．（3）已知数列满足，，则数列的通项公式为．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）累加法由题意得，，，，以上各式相加，得．又 ，∴． 当时也满足上式，∴．（2）累乘法 ，∴，，，．以上个式子相乘得．当时，，上式也成立．∴．（3）构造法 ，∴，∴，∴数列为等比数列，公比，对点增分集训又，∴，∴．一、选择题1．数列，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：特例淘汰法．令，淘汰D选项，令，淘汰A，B选项．解法二：数列变形为，，，，分子、分母都是等差数列，分子，分母．故选C．2．已知数列的前项和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，；当时，，所以，所以，故选C．3．若数列满足，，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由，得，即．由，得，则数列前项和，故选C．4．设为数列的前项和，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，；当时，，得到，所以．故选C．5．已知满足，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件可知，当时，．又时，满足此式．所以．令，则在上为减函数，在上为增函数，又，，则，故的最小值为，故选D．6．已知数列满足：，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得．所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即．7．数列满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，所以，所以，所以．由此可知，该数列是一个周期为的周期数列，所以．8．已知数列满足，，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，∴，又 ，∴， ，∴，则，于是得到，上述所有等式全部相加得，因此，故选B．二、填空题9．设数列满足，，则通项公式．【答案】【解析】由，得，所以，又适合上式，故．10．已知函数，且，则．【答案】【解析】当为奇数时，，为定值，所以．故填．11．已知数列的通项公式为，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的第行第个数为．【答案】【解析】由题意可得该数阵中的第行，第个数为数列的第项，而，故该数阵第行、第个数为．三、解答题12．根据数列的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．（1），，，；（2），，，，，；（3），，，，；（4），，，，，，，，．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．【解析】（1）将各项改写如下，，，，，，易知．（2）将各项绝对值改写如下，，，，，，．综合考查分子、分母，以及各项符号可知．（3）或．（4）观察数列可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以．13．已知数列的通项公式是．（1）若，则数列中有多少项是负数？为何值时，有最小值？并求出最小值；（2）对于，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）数列中有两项是负数，时，有最小值，最小值为；（2）．【解析】（1）由，解得．因为，所以，所以数列中有两项是负数，即为，．因为，由二次函数性质，得当或时，有最小值，其最小值为．（2）由于对于，都有知该数列是一个递增数列，又因为通项公...
