专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率一、选择题1.(2020山东威海一模,8)已知点A,B分别在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两支上,且关于原点O对称,C的左焦点为F1,直线AF1与C的左支相交于另一点M,若|MF1|=|BF1|,且|⃗BF1|·|⃗AM|=0,则C的离心率为()A.❑√10B.52C.❑√5D.❑√1022.(2020山东新高考质量测评联盟高三5月联考,8)已知直线y=❑√3x与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于不同的两点A和B,F为双曲线C的左焦点,且满足AF⊥BF,则双曲线C的离心率为()A.❑√3B.2C.❑√3+1D.❑√3+123.(2020山东聊城二模,5)已知双曲线C:x2m−y2n=1,则n>m>0是双曲线C的离心率大于❑√2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2019重庆巴蜀中学高三适应性月考(七))已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q,若OP∥QF2(O是坐标原点),则此双曲线的离心率等于()A.2B.❑√5C.3D.❑√105.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.❑√2-1B.❑√22C.❑√2D.❑√2+16.(2019山西长治学院附属太行中学高二下学期第二次月考)椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点,分别为F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则e2+e1e2-e1的值为()A.2B.3C.4D.67.(2019安徽芜湖高三模拟考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P,使得kPAkPB∈-13,0,则离心率e的取值范围为()A.0,❑√63B.❑√63,1C.0,23D.23,18.(2019重庆第八中学高二下学期第二次月考)设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PA|=2|PF2|,则C的离心率为()A.1+❑√32B.1+❑√22C.1+❑√3D.1+❑√29.(2019湖南长沙湖南师范大学附属中学高三模拟)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限内的A,B两点,若∠ACB=π3,且|OB|=3|OA|(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.2❑√133B.❑√133C.2❑√135D.❑√213二、填空题10.(2020全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.11.(2020全国Ⅲ,文14)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=❑√2x,则C的离心率为.12.(2019江苏南通高三下学期4月阶段测试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,当∠ABF=π12时,椭圆的离心率为.13.(2019浙江湖州三校模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B两点分别作AB的垂线交该椭圆于不同于顶点的C,D两点,若2|BD|=3|AC|,则椭圆的离心率是.专题突破练24热点小专题三、圆锥曲线的离心率1.D解析连接MF2,BF2,AF2,设|MF1|=m,|AF1|=n,可得|BF1|=m,AF1⊥BF1,可得四边形BF2AF1为矩形,由双曲线的定义可得|BF2|=m-2a,|MF2|=m+2a,即n=m-2a,可得m2+(m-2a)2=4c2,(m+m-2a)2+m2=(m+2a)2,解得m=3a,则有9a2+a2=4c2=4(a2+b2),化简可得ba=❑√62,∴e=ca=❑√1+b2a2=❑√102.故选D.2.C解析由题意设A(x0,y0),B(-x0,-y0),F(-c,0),则x02a2−y02b2=1,①因为AF⊥BF,所以⃗FA·⃗FB=0,(x0+c)(-x0+c)+y0(-y0)=0,整理,得c2-x02=y02,②因为AB在直线y=❑√3x上,所以y0x0=❑√3,③由①②③可得e4-8e2+4=0,解得e2=4+2❑√3,所以e=❑√3+1.故选C.3.A解析因为双曲线C:x2m−y2n=1,若n>m>0,则a2=m,b2=n,c2=a2+b2=m+n,所以e=ca=❑√m+nm>❑√2mm=❑√2,故充分性成立;若m❑√2nn=❑√2,故必要性不成立;故n>m>0是双曲线C的离心率大于❑√2的充分不必要条件.故选A.4.D解析过F1且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c,双曲线的渐近线方程为y=±bax,由OP∥QF2,可得Q在第一象限,由y=x+c和y=bax,解得Qacb-a,bcb-a,QF2的斜率为bcac-bc+ac=b2a-b,可得-ba=b2a...
