第3课时正、余弦定理的综合应用A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于(D)A．12B．C．28D．6[解析]由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝，∴sinA＝.∴S△ABC＝bcsinA＝×3×8×＝6.2．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(B)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形[解析]由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又 b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c， B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．3．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(B)A．B．C．D．[解析] 三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2， sinα＝，∴α＝120°.由余弦定理得，(a＋2)2＝(a－2)2＋a2－2a(a－2)cos120°，即a2＝5a，故a＝5，故三边长分别为3,5,7，S＝×3×5×sin120°＝.4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(C)A．B．C．D．[解析]由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理，得＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，故由余弦定理，得cosB＝，所以B＝.5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(B)A．B．C．D．[解析]如图所示，1在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，得a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，解得cos∠DAC＝.故选B．6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(C)A．3B．C．D．3[解析]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.二、填空题7．(2018·全国卷Ⅰ文，16)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为____.[解析]根据正弦定理有：sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，所以2sinBsinC＝4sinAsinBsinC，因为B，C∈(0，π)，所以sinB≠0，sinC≠0，所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cosA＝＝＝，所以bc＝，所以S＝bcsinA＝.8．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为____.[解析] A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b、c.由条件可知，b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC＝.三、解答题9．(2019·天津卷理，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值．[解析](1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB.由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a.由余弦定理可得cosB＝＝＝－.2(2)由(1)可得sinB＝＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝－，cos2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.10．(2018·北京理，15)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．[解析]解法一：(1)由余弦定理，cosB＝＝＝－，解得c＝－5(舍)，或c＝3，所以cosA＝＝＝，又因为0
0，sinB＝，由正弦定理，＝，即sinA＝sinB＝×＝，又因为0
