3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪检测一、选择题1．下列命题中真命题的个数是()①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：②③正确，①④不正确．答案：C2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是平面BB1C1C的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝c，则A1D＝()A.a＋b＋cB．a－b＋cC.a＋b－cD．－a＋b＋c解析：A1D＝A1C1＋C1D＝A1C1＋(C1B1＋C1C)＝A1C1＋(A1B1－A1C1＋C1C)＝c＋(b－c－a)＝－a＋b＋c.答案：D3．已知正方体OABC－O1A1B1C1的棱长为1，若以OA，OC，OO1为基底，则向量OB1的坐标是()A．(1,1,1)B．(1,0,1)C．(－1，－1，－1)D．(－1,0,1)解析：如图所示，易知OB1＝OA＋OC＋OO1，∴向量OB1的坐标为(1,1,1)．答案：A4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基向量OA，OB，OC1表示向量OG，设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，z的值分别为()A.，，B．，，C.，，D．，，解析：OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OM＋(ON－OM)＝OM＋×(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC.又OG＝xOA＋yOB＋zOC，∴x＝，y＝，z＝.答案：D5．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c解析：解法一： a＝(p＋q)，b＝(p－q)，a＋2b＝p－q，∴A、B、C中的向量都不能与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底．解法二：A、B、C都是与a，b共面的向量，p、q也与a、b共面，故不能构成空间中的基底．答案：D6．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z的值为()A．1B．－1C．2D．－2解析：由题意知，A，B，C，D四点共面的充要条件是：对空间任一点O，存在实数x1，y1，z1，使得OA＝x1OB＋y1OC＋z1OD，且x1＋y1＋z1＝1，因此可知2x＋3y＋4z＝－1.答案：B二、填空题7．若{a，b，c}构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z应满足的条件是________．解析： {a，b，c}构成空间的一个基底，∴a，b，c是空间不共面的非零向量．由xa＋yb＋zc＝0知，x＝y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝08．在空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________.解析： EF＝EA＋AB＋BF，EF＝EC＋CD＋DF.∴2EF＝EA＋EC＋AB＋CD＋BF＋DF，又 E为AC的中点，F为BD的中点，∴EA＋EC＝0，BF＋DF＝0，2∴2EF＝AB＋CD＝6a＋6b－10c，∴EF＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c9．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．解析：设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.由题意，得解得答案：三、解答题10．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO，A1B的坐标．解：设{e1，e2，e3}是单位正交基底，则OA＝4e1，OB＝2e2，OO1＝4e3， DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)＝－＝－OO1－OA－OB.∴DO＝－2e1－e2－4e3，∴DO＝(－2，－1，－4)． A1B＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1)＝OB－OA－OO1.∴A1B＝－4e1＋2e2－4e3，∴A1B＝(－4,2，－4)．11．(2018·山西太原高二期末)如图，三棱锥O－ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE＝λOC，记OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)用向量a，b，c表示DE；(2)求|DE|的最小值．解：(1)DE＝DA＋AE＝BA＋OE－OA＝(OA－OB)＋λOC－OA＝－a－b＋λc.(2)因为三棱锥棱长都为1，故a2＝b2＝c2＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，所以|DE|2＝－a－b＋λc2＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c＝＋λ(λ－1)＝2＋，故当λ＝时，|DE|取得最小值，且|DE|min＝.12．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且OP＝2e1－e2＋3e3，OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以{OA，OB，OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP....
