【与名师对话】2016版高考数学一轮复习3.6正弦定理和余弦定理课时跟踪训练文一、选择题1．(2014·武汉调研)△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝()A.或B.C.或D.解析：cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC＝1，由a＝2c得2sinC＝sinA．所以sin2C＝，sinC＝，由a＝2c知角C为锐角，所以C＝，选B.答案：B2．(2015·大连质量监测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝，故选B.答案：B3．(2014·淄博检测试题)已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.B.C．－D．－解析：由题意知S＝absinC，所以absinC＝a2＋b2－c2＋2ab，结合余弦定理cosC＝，得absinC＝2ab(cosC＋1)，即sinC＝2cosC＋2，又sin2C＋cos2C＝1解得sinC＝，cosC＝－，∴tanC＝－，选C.答案：C4．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.B.C.D.解析：由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝.答案：C5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为()A．－B.C．1D.解析：由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×2－1＝.答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若b＝，则a＋c的最大值为()A.B．3C．2D．9解析：∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB＝acosC＋ccosA，∴cosB＝，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3·2＝，即3≥，∴a＋c≤2，所以选C.答案：C二、填空题7．(2015·山西师大附中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c若8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________.解析：由正弦定理＝及8b＝5c，得8sinB＝5sinC，1又C＝2B，∴sinC＝2sinBcosB，∵cosC＝cos2B≠0，∴cosB＝，∴sinC＝2cos2B－1＝2×2－1＝.答案：8．在△ABC中，A＝，a＝2，△ABC的面积为，则b＋c＝__________.解析：由△ABC的面积S＝bcsinA＝，得bc＝4，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA得b2＋c2＝8，∴(b＋c)2＝8＋2×4＝16，∴b＋c＝4.答案：49．(2014·黄冈期末考试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，c∶b＝8∶5，△ABC的面积为40，则外接圆的半径为________．解析：S△ABC＝bc·sinA＝40，∴bc＝160.∵c∶b＝8∶5，∴c＝16，b＝10.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝196，∴a＝14.2R＝＝，∴R＝.答案：三、解答题10．(2014·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，故cos(A＋B)＝－.所以A＋B＝，从而C＝.(2)因为S△ABC＝absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.11．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，sinB＝sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos2A－的值．解：(1)在△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c.又由a－c＝b，有a＝2c.所以，cosA＝＝＝.(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝.于是，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.所以，cos2A－＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.12．(2015·衡水中学月考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知(2a＋b)cosC＋ccosB＝0.(1)求角C的大小；(2)若c＝4，求使△ABC面积取得最大值时a，b的值．解：(1)由已知及由正弦定理得(2sinA＋sinB)cosC＋sinCcosB＝0，2所以2sinAcosC＋(sinBcosC＋sinCcosB)＝0，所以sin(B＋C)＋2sinAcosC＝0，即sinA＋2sinAcosC＝0.因为0
0，所以cosC＝－，所以C＝.(2)因为△ABC的面积为S＝absinC＝ab，若使得S取得最大值，只需要ab取得最大值．由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcosC，即16＝a2＋b2＋ab≥3ab，故ab≤，当且仅当a＝b时取等号．故使得△ABC面积取得最大值时a、b的取值为a＝b＝.3
