高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3.3 空间向量运算的坐标表示课时作业 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.3.3空间向量运算的坐标表示[基础达标]设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标分别为A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|AB|＝()A．18B．12C．3D．2解析：选C.AB＝(1，－4，－1)，|AB|＝|AB|＝＝3.若ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(－3，7，－5)，则顶点D的坐标为()A.B．(2，3，1)C．(－3，1，5)D．(－1，13，－3)解析：选D.设D(x，y，z)， AB＝DC，∴(－2，－6，－2)＝(－3－x，7－y，－5－z)，∴∴.向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是()A．a∥b，a⊥bB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对解析：选C.a·b＝－4＋0＋4＝0，∴a⊥b，又c＝2a，∴a∥c，故选C.已知A(2，－2，1)，B(1，0，1)，C(3，－1，4)，则向量AB，AC夹角的余弦值为()A.B．C.D．解析：选B.由点A，B，C的坐标可求得AB＝(－1，2，0)，AC＝(1，1，3)，则|AB|＝＝，|AC|＝＝，AB·AC＝(－1)×1＋2×1＋0×3＝1，因此，cos〈AB，AC〉＝＝＝.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为()A．17或－1B．－17或1C．－1D．1解析：选B.a·b＝4－λ，|a|＝，|b|＝，由题意得cos60°＝即＝，解之得λ＝1或λ＝－17.已知a＝2(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则λ的值为________．解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x，y)使得a＝xb＋yc，即(4，－2，6)＝(－x，4x，－2x)＋(7y，5y，λy)，即解得故填.答案：已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足M1M2＝4MM2，则向量OM的坐标为________．解析：M1M2＝(1，－7，－2)，设M(x，y，z)，∴MM2＝(3－x，－2－y，－5－z)．由M1M2＝4MM2，∴(1，－7，－2)＝4(3－x，－2－y，－5－z)，∴x＝，y＝－，z＝－.答案：(，－，－)设AB＝(cosα＋sinα，0，－sinα)，BC＝(0，cosα，0)，则|AC|的最大值为________．解析：AC＝AB＋BC＝(cosα＋sinα，cosα，－sinα)，∴|AC|＝＝≤.1答案：9．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．解：(1)因为关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，所以Δ＝[－(t－2)]2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.又c＝(－1，1，3)＋t(1，0，－2)＝(－1＋t，1，3－2t)，所以|c|＝＝.因为t∈[－4，－]时，上述关于t的函数单调递减，所以当t＝－时，|c|取最小值.(2)当t＝－时，c＝(－，1，)，所以cos〈b，c〉＝＝＝－＝－.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则有E、F、C(0，1，0)、C1(0，1，1)、B1(1，1，1)、G.(1)证明：EF＝－＝，B1C＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)，∴EF·B1C＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴EF⊥B1C，即EF⊥B1C.(2) C1G＝－(0，1，1)＝，∴|C1G|＝.又EF·C1G＝×0＋×＋×(－1)＝，|EF|＝，∴cos〈EF，C1G〉＝＝.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.(3) F、H，∴FH＝，∴|FH|＝＝.[能力提升]△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B．C．4D．2解析：选A.设AD＝λAC，其中λ∈R，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)，∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.∴BD＝(－4，4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.2∴λ＝－，∴BD＝(－4，，)．∴|BD|＝＝5.已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP的坐标为________．解析：因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4.因为BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，且BP⊥BC，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－，于是BP＝(，－，－3)．答案：(，－，－3)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．求以...