高考数学 玩转压轴题 专题2.13 交点零点有没有极最符号异与否-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题2.13交点零点有没有极最符号异与否【题型综述】导数研究函数图象交点及零点问题利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数；②求导；③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.【典例指引】例1．已知函数，．（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．【思路引导】（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负，，故只有一个公共点．当时，，在（）单调递减；当时，，在（0，1）单调递增．又，所以在（0，1）（）恒负因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）．例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）【思路引导】（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立，令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.当且仅当故实数的取值范围为∴存在，使得，即，则，………9分∴当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，∴，即在区间内单调递增，∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数的零点个数．【思路引导】（1）根据是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当时，，，结合单调性由此可得结论．(2) ，∴，令，得，．当变化时，，的取值变化情况如下：13＋0－0＋递增极大值递减极小值递增当时，，，又因为在上单调递增，因而在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数．例4．已知函数，．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求导，得，分析单调性得当时，即得证；（Ⅱ）对t进行讨论①，在[1，+∞)上是增函数，所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，②若，在[1，+∞)上是减函数，所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，③若0