高考数学一轮复习 变化率与导数、导数的运算基础知识检测 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

变化率与导数、导数的运算图K13－11．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是()A．2B．1C．－2D．－12．f(x)＝，则f′(8)等于()A．0B．2C.D．－13．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．ln2C.D．e4．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．5．已知物体的运动方程是s＝t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A．2秒或4秒B．2秒或16秒C．8秒或16秒D．4秒或8秒6．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B.C．－D.7．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝()图K13－2A.B．－C.D．－或8．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．09．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．10．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．11．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数：①f(x)＝x2＋2x；②f(x)＝sinx＋cosx；③f(x)＝lnx－x；④f(x)＝－xex在上是凸函数的是________．(填序号)12．(13分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．13．(12分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案解析【基础热身】1．D[解析]f(1)＝3，f(3)＝1，因此＝－1.2．C[解析]f(x)＝x，f′(x)＝x－＝，f′(8)＝＝.3．D[解析]f′(x)＝x′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.4．0[解析]由题意得f′(5)＝lim＝lim＝f′(0)，且f′(0)＝lim＝－lim＝－f′(0)，f′(0)＝0，因此f′(5)＝0.【能力提升】5．D[解析]瞬时速度v＝s′＝t2－12t＋32，令v＝0可得t＝4或8.6．B[解析]对y＝－求导得到y′＝＝，当x＝时y′＝＝.7．B[解析]f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴，(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图像．∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0.∴a2－1＝0，a<0，∴a＝－1，∴y＝f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.8．B[解析]由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.9．4x－y－3＝0[解析]设切点坐标为(x0，y0)，则4x＝4，∴x0＝1，y0＝1，即切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝4，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.10．(－∞，0)[解析]由题意可知f′(x)＝3ax2＋，又因为曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0⇒a＝－(x＞0)⇒a∈(－∞，0)．11．②③④[解析]对于①f′(x)＝2x＋2，f″(x)＝2>0，因此①不是凸函数；对于②f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，∵x∈，∴sinx>0，cosx>0，∴f″(x)<0，因此②是凸函数；对于③，f′(x)＝－1，f″(x)＝－<0，因此③是凸函数；对于④，f′(x)＝－ex－xex，f″(x)＝－ex－ex－xex＝－(x＋2)ex<0，因此④是凸函数．12．[解答]当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.【难点突破】13．[解答](1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.