课时作业7函数的最大(小)值与导数时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(A)A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能2．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1,5]上(B)A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－C．有最小值－，无最大值D．既无最大值也无最小值解析：f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，∴f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.3．函数f(x)＝x＋2sinx在区间[－π，0]上的最小值是(D)A．－B．2C．＋D．－－解析：f′(x)＝1＋2cosx.令f′(x)＝0得x＝－，又f(－π)＝－π，f＝－－，f(0)＝0，故最小值为－－.4．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是(D)A．当x＝时，f(x)取最大值B．当x＝时，f(x)取最小值C．当x＝－时，f(x)取最大值D．当x＝－时，f(x)取最小值解析：f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln2.令f′(x)＝0，得x＝－.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．5．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为(A)解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)在上1是增函数．∴f(x)的最大值为，f(x)的最小值为f(0)＝.6．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为(B)A．2B．1C．－2D．－1解析：f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为(D)A．1B．C．D．解析：因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，设h(x)＝x2－lnx(x>0)，则h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝＝0，得x＝(负值舍去)，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.8．若对任意的x>0，恒有lnx≤px－1(p>0)，则p的取值范围是(D)A．(0,1]B．(1，＋∞)C．(0,1)D．[1，＋∞)解析：原不等式可化为lnx－px＋1≤0，令f(x)＝lnx－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－lnp，即－lnp≤0，解得p≥1.二、填空题9．函数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是2，最小值是－2.解析： y′＝＝，令y′＝0可得x＝1或－1.又 f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，∴最大值为2，最小值为－2.10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是－.解析：f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－＋a＝－.11．已知函数f(x)＝(x2－2x)ex，下列说法中正确的有①④.①f(x)在R上有两个极值点；②f(x)在x＝处取得最大值；③f(x)在x＝处取得最小值；④f(x)在x＝处取得极小值；⑤函数f(x)在R上有三个不同的零点．解析：f′(x)＝ex(x2－2)，令f′(x)＝0，得x＝±，当x<－时，f′(x)>0，当－时，f′(x)>0，故函数在x＝处取得极小值，在x＝－处取得极大值，所以①④正确；又f(x)＝0，x＝0或x＝2，所以y＝f(x)有2个不同零点，所以⑤不正确．三、解答题12．试求函数y＝4x2＋在(0，＋∞)上的最值．2解：y′＝8x－，令y′＝0，解得x＝.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x0y′－0＋y极小值所以由上表可知，函数在x＝处取得最小值，最小值为3，无最大值．13．已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)在区间[－2,2]上，试求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．∴当x＝1时，f(x)有极大值，∴f′(1)＝0.又 f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，∴f′(1)＝4－12＋2a＝0⇒a＝4.显然当a＝4时，f′(x)＝4x(x2－3x＋2)＝4x(x－1)(x－2)，在[0,1]上，f′(x)>0；在[1,2)上，f′(x)<0，x＝1是极大值点，符合题设．∴a＝4.(2)令f′(x)＝4x3－12x2＋8x＝0，得x...
