数列的概念与简单表示法考向1由数列的前几项归纳数列的通项公式1．(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝D．an＝【解析】观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.∴an＝.【答案】C2．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.【解析】数列可以看作，，，，…，分母可以看作12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，第n项分母为n2＋1，分子可以看作2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1，第n项分子为2n＋1，故an＝.【答案】由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．考向2由an与Sn的关系求通项(1)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.(2)已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.【解析】(1)由Sn＝an＋得，当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－1(2)①a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．1∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝已知Sn求an的三个步骤1．当n＝1时，a1＝S1.2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.3．对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则an应写成分段函数的形式，即an＝[变式训练]1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64【解析】a8＝S8－S7＝82－72＝15.【答案】A2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.n－1C.n－1D.【解析】由an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，所以Sn＝n－1，故选B.【答案】B考向3由数列的递推公式求通项公式1.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.【解】(1)∵an＋1＝an＋ln，∴an－an－1＝ln＝ln(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2＝2＋ln＝2＋lnn(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn(n∈N*)．(2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，∴an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.又a1＝1适合上式，故an＝2.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.典型的递推数列及处理方法2递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2n＝f(n)叠乘法a1＝1，＝2nan＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较知只要λ＝即可．(2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列．[变式训练]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1.【解】(1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2适合上式，∴an＝n2＋.(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴＝(n≥2)，∴an＝··…··a1＝··…··1＝，当n＝1时适合上式，故an＝.(3)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2.∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1.3
