专题七：思想方法专题第三讲分类讨论思想【思想方法诠释】1．分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型：（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．3．分类讨论的一般流程：【核心要点突破】要点考向1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）例1：设0
0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。注：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵分类的还有很多，如绝对值：|a|的定义分为a＞0、a＜0、a=0三种情况；直线的斜率分为：倾斜角，斜率k存在，倾斜角，斜率不存在；指数、对数函数：与，可分为1两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为y=kx，不过原点时为等．要点考向2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例2：设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1,2,3,…）.（1）求q的取值范围；（2）设bn=an+2-23an+1,记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况注：（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．（2）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．（3）在构建数学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论，特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要注意分类的原则是“不重不漏”．要点考向3：根据字母的取值情况分类讨论例3：设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围。【解析】当a>0时，f(x)＝a（x－1a）2＋2－1a∴111220afa≤＝≥()或1141210afaa()＝或14416820afa≥＝≥()∴a≥1或1212；2当a<0时，fafa()()1220416820＝≥＝≥，解得φ；[来源:Z&xx&k.Com]当a＝0时，f(x)＝－2x＋2,f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意注：题目中含有参数的问题（含参数型），主要包括：（1）含有参数的不等式的求解；（2）含有参数的方程的求解；（3）对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．要点考向4：根据图形位置或形状变动分类讨论例4：在xoy平面...
