专题三数列第一讲等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{an}满足an＋1－an＝d(其中n∈N*，d为与n值无关的常数)⇔{an}是等差数列．2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．3．等差中项．若x，A，y成等差数列，则A＝，其中A为x，y的等差中项．4．等差数列的前n项和公式．若等差数列首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn＝＝na1＋．1．等比数列的定义．数列{an}满足＝q(其中an≠0，q是与n值无关且不为零的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝a1·qn－1＝am·qn－m(n，m∈N*)．3．等比中项．若x，G，y成等比数列，则G2＝xy，其中G为x，y的等比中项，G值有两个．4．等比数列的前n项和公式．设等比数列的首项为a1，公比为q，则Sn＝1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(4)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(5)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)(6)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝.(×)1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则数列{an}的前5项和S5＝(B)A．7B．15C．20D．25解析：2d＝a4－a2＝5－1＝4⇒d＝2，a1＝a2－d＝1－2＝－1，a5＝a2＋3d＝1＋6＝7，故S5＝＝＝15.2.(2015·北京卷)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(C)A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0解析：设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21B．42C．63D．84解析： a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.2∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90B．100C．145D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)． d≠0，解得d＝2，＝100.一、选择题1．已知等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12B．33C．66D．99解析： {an}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a6＋a6＝a3＋a9＝6.∴a6＝3.∴S11＝×11＝×11＝11a6＝11×3＝33.2．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则数列{an}的前6项和S6＝(B)A．120B．140C．160D．180解析： {an}为等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6为等比数列．∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)．即a5＋a6＝＝＝80.∴S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则a3＋a17＝(C)A．15B．17C．34D．398解析： Sn＝n2－2n－1，3∴a1＝S1＝12－2－1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－1－[(n－1)2－2(n－1)－1]＝n2－(n－1)2＋2(n－1)－2n－1＋1＝n2－n2＋2n－1＋2n－2－2n＝2n－3.∴an＝∴a3＋a17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34.4．(2014·陕西卷)原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A)A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：由＜an⇒an＋1＜an⇒{an}为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{an}为递减数列，则＜an，n∈N＋；若{an}为递减数列，则an＋1＜an，即＜an，所以逆命题为真；否命题：若≥an，n∈N＋，则{an}不为递减数列；由≥...
