第3章空间向量与立体几何一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)若空间三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________．解析：A、B、C三点共线，则有AB与AC共线，即AB＝λAC，又AB＝(1，－1，3)，AC＝(p－1，－2，q＋4)，∴解得答案：32已知空间四边形ABCD中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝3MA，N为BC中点，则MN＝________.(用a，b，c表示)解析：显然MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA.答案：－a＋b＋c在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是________(填序号)．①OM＝3OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0.解析：①对，空间的四点M，A，B，C共面只需满足OM＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M与A，B，C共面．答案：①③已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，若a，b成120°的角，则k＝________．解析：cos〈a，b〉＝＝＝－<0，∴k<0，∴k＝－.答案：－已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于________．解析：只需将AC′＝AB＋AD＋AA′，运用向量运算|AC′|＝即可．答案：已知A(－1，－2，6)，B(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量OA与OB的夹角是________．解析：利用cos〈OA，OB〉＝＝－1.即向量OA与OB的夹角是π.答案：π设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是________三角形．解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．答案：锐角已知A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，则△ABC的面积为________．解析：应用向量的运算，计算出cos〈AB，AC〉，再计算sin〈AB，AC〉，从而得S＝|AB||AC|·sin〈AB，AC〉＝.答案：下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直；其中正确的个数为________．解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确．答案：3在空间直角坐标系O－xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝________．解析：如图所示，设|a|＝m(m＞0)，a＝OP，PA⊥平面xOy，则在Rt△PBO中，|PB|＝|OP|·cos〈a，i〉＝m，在Rt△PCO中，|OC|＝|OP|·cos〈a，j〉＝，∴|AB|＝，在Rt△PAB中，PA＝＝＝，1∴OD＝，在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝＝，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.答案：60°在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为________．解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，可知CM＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1)，所以cos〈CM，D1N〉＝－，故sin〈CM，D1N〉＝.答案：点P是棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1内一点，且满足AP＝AB＋AD＋AA1，则点P到棱AB的距离为________．解析：如图所示，过P作PQ⊥平面ABCD于Q，过Q作QE⊥AB于E，连结PE. AP＝AB＋AD＋AA1，∴PQ＝，EQ＝，∴点P到棱AB的距离为PE＝＝.答案：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦值为________．解析：以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝CB＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)．∴E(，，1)，G(，，)，∴GE＝(，，)，BD＝(0，－a，1)， 点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2.∴GE＝(，，)，BA1＝(2，－2，2)． GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量，那么cos〈GE，BA1〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的余弦值为＝.答案：在空间...
