第1课时用向量方法解决平行问题课时过关·能力提升基础巩固1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1的一个法向量为()A.⃗BD1B.⃗DBC.⃗BA1D.⃗BB1解析:由于直线BD1⊥平面ACB1,所以⃗BD1是平面ACB1的一个法向量.答案:A2设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于()A.2B.-4C.4D.-2解析: α∥β,∴1-2=2-4=-2k,∴k=4.答案:C3若⃗AB=λ⃗CD+μ⃗CE,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析: ⃗AB=λ⃗CD+μ⃗CE,∴⃗AB,⃗CD,⃗CE共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案:D4若两个不同的平面α与β的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与平面β的关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断解析: a=-b,∴a∥b,∴α∥β.答案:A5若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)1D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析: l∥α,∴a⊥u,即a·u=0.故选D.答案:D6已知两个不同的平面α与β有公共的法向量n=(1,-1,1),则平面α,β的位置关系为.答案:α∥β7如图,在正三棱锥S-ABC中,点O是△ABC的外心,点D是棱BC的中点,则平面ABC的一个法向量可以是,平面SAD的一个法向量可以是.答案:⃗OS⃗BC(答案不唯一)8已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两个平行平面的法向量,则λ=.答案:29已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN∥平面ADD1A1.证明:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(12a,2a,0). M,N分别为AE,CD1的中点,∴M(34a,a,0),N(0,a,a2).∴⃗MN=(-34a,0,a2).2取n=(0,1,0),显然n⊥平面A1D1DA,且⃗MN·n=0,∴⃗MN⊥n.又MN⊄平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1.10如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC¿π4,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点.AF⊥CD于点F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.解:由题设知,在Rt△AFD中,AF=FD¿√22,A(0,0,0),B(1,0,0),F(0,√22,0),D(-√22,√22,0),P(0,0,2),M(0,0,1),N(1-√24,√24,0).⃗MN=(1-√24,√24,-1),⃗PF=(0,√22,-2),⃗PD=(-√22,√22,-2).设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗PF=0,n·⃗PD=0⇒{√22y-2z=0,-√22x+√22y-2z=0,令z¿√2,得n=(0,4,√2¿.因为⃗MN·n¿(1-√24,√24,-1)·(0,4,√2¿=0,且MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.能力提升31已知直线l的方向向量a¿(2,3,13),平面α的法向量为n¿(6,λ,-12),若l∥α,则λ的值是()A.4B.−7118C.253D.−236解析: l∥α,∴a⊥n,即a·n=0,∴2×6+3λ−16=0,解得λ=−7118.答案:B2给出下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.0解析:①中,α与β可能重合;②中,α∥β可得到n1∥n2.答案:A3在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.(1,1,12)B.(1,√2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)解析:⃗PA=(1,0,−2),⃗AB=(−1,1,0).4设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),则{x-2=0,-x+y=0,解得{x=2,y=2,∴n=(2,2,1).又(1,1,12)=12n,∴A正确.答案:A4已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n¿(k,k+3,32),若a∥b,则k=.解析:①当k=0时,a与b不平行.②当k≠0时,由4k=kk+3=k-132,解得k=-2.答案:-25已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=.解析:设n=(0,y,z),由题意得{3y+5z=12,4y+6z=14,解得{y=-1,z=3.故n=(0,-1,3).答案:(0,-1,3)6已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则αβ.(填“⊥”或“∥”)解析:⃗AB=(0,1,−1),⃗AC=(1,0,−1),则n·⃗AB=−1×0+(−1)×1+(−1)×(−1)=0,n·⃗AC=−1×1+(−1)×0+(−1)×(−1)=0.又α与β不重合,故α∥β.答案:∥7在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,D...
