高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性优化练习 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

1.4.2第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性[课时作业][A组基础巩固]1．下列函数是以π为周期的是()A．y＝sinxB．y＝cosx＋2C．y＝2cos2x＋1D．y＝sin3x－2解析：对于A，B，函数的周期为2π，对于C，函数的周期是π，对于D，函数的周期是π，故选C.答案：C2．函数f(x)＝cos的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π解析：T＝＝＝π，故B正确．答案：B3．函数y＝sin是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：y＝sin＝sin＝－sin＝－cos2010x，所以为偶函数．答案：B4．下列函数中是奇函数且最小正周期为π的函数是()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝cosD．y＝cos解析：因为y＝cos＝－sin2x，所以y＝cos是奇函数，且T＝＝π，所以C正确．答案：C5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于()A．－B．1C．－D.解析：f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.答案：D6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝________.解析：f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.答案：27．函数y＝cos的最小正周期是________．解析：y＝cos＝cos＝cos＝sinx.所以最小正周期为T＝＝4.答案：48．已知f(x)＝ax＋bsin3x＋3且f(－3)＝7，则f(3)＝________.解析：f(－3)＝－3a－bsin33＋3＝7.∴3a＋bsin33＝－4，∴f(3)＝3a＋bsin33＋3＝－4＋3＝－1.答案：－19．判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx的奇偶性．解析：因为f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx＝cosx－x3sinx，其定义域为R，f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，所以f(x)为偶函数．10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，求当x∈时，f(x)的解析式．解析：当x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.[B组能力提升]1．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A．10B．11C．12D．13解析：因为T＝＝≤2，所以k≥4π，又k∈Z，所以正整数k的最小值为13.答案：D2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()解析：由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B.答案：B3．已知f(x)＝cosx，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝________.解析：因为f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cosπ＝－1，f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos2π＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，又f(x)的周期为T＝＝6，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝－f(6)＝－1.答案：－14．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为________．解析：∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.由f＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝.∴sinα＝±＝±.答案：±5．设函数f(x)＝asin和函数g(x)＝bcos(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．解析：因为f(x)和g(x)的最小正周期和为π，所以＋＝，解得k＝2.因为f＝g，所以asin＝bcos，即a·sin＝b·cos，所以a＝b，即a＝b.①又f＝－g－1，则有a·sin＝－b·cos－1，即a＝b－1②由①②得a＝b＝1，所以f(x)＝sin，g(x)＝cos.6．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．解析：由5cos＝，得cos＝.因为函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为有两次，而区间[a，a＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×≤3，且4×≥3.所以≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.