第1讲坐标系讲末复习与小结四、素质训练A．基础巩固1．伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋＝1，则曲线C的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x＋1)2＋＝1C．(x＋1)2＋y2＝1D．(x－1)2＋＝1【答案】B【解析】直接将代入方程x′2＋＝1，化简即可．2．(2017年库尔勒校级期末)P点的直角坐标(－，1)化成极坐标为()A．B．C．D．【答案】A【解析】ρ＝＝2，tanθ＝－，θ∈，∴θ＝.∴点P的极坐标为.故选A．3．(2017年滨州校级期中)极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【答案】B【解析】极坐标方程ρ＝sinθ＋cosθ，即ρ2＝ρ(sinθ＋cosθ)，化为x2＋y2＝x＋y，配方为2＋2＝，表示的曲线是以为圆心，为半径的圆．故选B．4．已知点P的球坐标是，则点P的直角坐标是()A．B．C．D．【答案】A【解析】故点P的直角坐标为.5．(2017年北京)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为__________．【答案】1【解析】设圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，再化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝1.如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为|AP|min＝|CP|－rC＝2－1＝1.故答案为1.6．在极坐标系中，曲线ρcos＝1与极轴的交点到极点的距离为________．【答案】2【解析】由曲线ρcos＝1展开可得ρ＝1，可得直角坐标方程x＋y＝2，令y＝0，可得x＝2.∴曲线ρcos＝1与极轴的交点到极点的距离为2.7．在极坐标系中，设圆ρ＝2上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为d，求d的最大值和最小值．【解析】解法一：将圆的极坐标方程ρ＝2转化为直角坐标方程x2＋y2＝4，圆心为(0,0)，半径为r＝2，1直线的极坐标方程ρ(cosθ＋sinθ)＝6可化为直角坐标方程x＋y＝6，所以圆心到直线的距离为d′＝＝3.所以dmax＝d′＋r＝3＋2＝5，dmin＝d′－r＝3－2＝1.解法二：将圆的极坐标方程ρ＝2转化为直角坐标方程x2＋y2＝4，直线的极坐标方程ρ(cosθ＋sinθ)＝6可化为直角坐标方程x＋y＝6.在圆x2＋y2＝4上任取一点A(2cosα，2sinα)，则点A到直线的距离为d＝＝|cosα＋sinα－3|＝，所以当sin＝－1时，dmax＝|2×(－1)－3|＝5；当sin＝1时，dmin＝|2×1－3|＝1.B．能力提升8.(2018年长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N连线的中点为P，求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)∵ρcos＝1，∴ρcosθ·cos＋ρsinθ·sin＝1.即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.∴M(2,0)，N.∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为，∴P的极角为θ＝.∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).23
