3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错【解析】设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝.又 0<θ≤90°，∴θ＝30°.【答案】C2．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A.B．C.D．【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.【答案】D3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()【导学号：15460079】A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是AD＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E，∴AE＝，易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cos
＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】B4．如图3231，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为()1图3231A．－B．－C.D．【解析】设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E＝(－1,1,0)，A1B＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以DA＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，DA〉＝＝＝，又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为，故选C.【答案】C5．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A.B．C.D．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E，F，B1(1,1,1)．A1B1＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝2，则∴n＝(1,2,1)，cos〈n，A1B1〉＝＝，即线面角的正弦值为.【答案】B二、填空题6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．【解析】作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝.在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝，2所以∠CMO＝45°.【答案】45°7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB＝(1,3,)，所以cos〈n，AB〉＝＝，因为〈n，AB〉∈[0，π]，所以sin〈n，AB〉＝＝.【答案】8．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E，F，所以AE＝，EF＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝＝.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝，sinα＝，所以tanα＝.【答案】三、解答题9.如图3232所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.图3232(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解】(1)证明：连接OC，由题意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.3又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC. BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,，0)，A(0,0,1)，E，∴BA＝(－1,0,1)，CD＝(－1，－，0)，∴cos〈BA，CD〉＝＝.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10．四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解】如图，以D...
