18圆锥曲线的标准方程与几何性质1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().A.❑√3-1B.2-❑√3C.❑√2-1D.2-❑√2解析▶根据题意,设F(c,0),又由△OAF是等边三角形,得A(c2,❑√32c).因为点A在椭圆上,所以c24a2+3c24b2=1.①又a2=b2+c2,②联立①②,解得c=(❑√3-1)a,则其离心率e=ca=❑√3-1,故选A.答案▶A2.直线l:x-2y-5=0过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为().A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x24-y2=1D.x2-y24=1解析▶对于直线l,令y=0,得x=5,即c=5.又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以双曲线的方程为x220-y25=1,故选A.答案▶A3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=9,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为().A.6❑√27B.18❑√27C.4❑√27D.2❑√27解析▶设P(x0,y0),因为抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,|PM|=9,根据抛物线的定义,可得x0=8,所以y0=±4❑√2.又点P在第一象限,所以P(8,4❑√2),所以kPF=4❑√27,故选C.答案▶C4.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则⃗OP·⃗FP的最大值为().A.2B.3C.6D.8解析▶设P(x0,y0),则x024+y023=1,即y02=3(1-x024).又F(-1,0),所以⃗OP·⃗FP=x0(x0+1)+y02=14x02+x0+3=14(x0+2)2+2.因为x0∈[-2,2],所以(⃗OP·⃗FP)max=6,故选C.答案▶C能力1▶巧用定义求解曲线问题【例1】已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是().A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线的右支解析▶因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点,所以F2M=2ON=2.因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即点P的轨迹是双曲线的右支,故选D.答案▶D求轨迹方程的常用方法:一是定义法,动点满足圆或圆锥曲线的定义;二是直接法,化简条件即得;三是转移法,除所求动点外,一般还有已知轨迹的动点,寻求两者之间的关系是关键;四是交轨法或参数法,如何消去参数是解题关键,且需注意消参过程中的等价性.椭圆x212+y23=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF2的中点在y轴上,则|PF2|是|PF1|的().A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍解析▶设线段PF2的中点为D,则|OD|=12|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x轴,∴PF1⊥x轴,∴|PF1|=b2a=32❑√3=❑√32.又 |PF1|+|PF2|=4❑√3,∴|PF2|=4❑√3-❑√32=7❑√32,∴|PF2|是|PF1|的7倍,故选A.答案▶A能力2▶会用有关概念求圆锥曲线的标准方程【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(❑√2,❑√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是().A.x212-y2=1B.x29-y23=1C.x2-y23=1D.x223-y232=1解析▶由题意可得{2a2-3b2=1,ba=❑√3,解得{a=1,b=❑√3,∴双曲线C的标准方程是x2-y23=1,故选C.答案▶C渐近线、焦点、顶点、准线等是圆锥曲线的几何性质,这些性质往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何量结合在一起,只有正确把握和理解这些性质,才能通过待定系数法求解圆锥曲线的方程.已知双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为❑√2,且双曲线与抛物线x2=-4❑√3y的准线交于A,B两点,S△ABO=❑√3,则双曲线的实轴长为().A.❑√2B.2C.2❑√2D.4❑√2解析▶因为抛物线的方程为x2=-4❑√3y,所以准线方程为y=❑√3.因为S△ABO=❑√3,所以12×2×|xA|×❑√3=❑√3,所以xA=±1,所以A(1,❑√3)或A(-1,❑√3).因为双曲线y2a2-x2b2=1的离心率为❑√2,所以a=b,所以3a2-1a2=1,故a=❑√2,因此双曲线的实轴长为2❑√2,故选C.答案▶C能力3▶会用几何量的关系求离心率【例3】已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,y轴上的点P在椭圆外,且线段PF1与椭圆E交于点M,若|OM|=|MF1|=❑√33|OP|,则椭圆E的离心率为().A.12B.❑√32C.❑√3-1D.❑√3+12解析▶因为|OM|=|MF1|=❑√33|OP|,所以∠F1PO=30°,∠MF1F2=60°,连接MF2,则可得三角形MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,易知MF1=c,MF2=❑√3c,则c+❑√3c=2a,所以离心率e=ca=21+❑√3=❑√3-1,故选C.答案▶C求离心率一般有以下几种方法:...
