3.4.3导数的存在性问题核心考点·精准研析考点一关于函数零点或方程的根的存在性问题【典例】1.(2020·泰安模拟)若函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是()A.B.(-,0)C.(0,)D.2.(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=若方程[f(x)]2=a恰有两个不同的实数根x1,x2,则x1+x2的最大值是________.【解题导思】序号联想解题1由存在唯一的零点x0,且x0>0,想到分离变量a构建新函数2由[f(x)]2=a恰有两个不同的实数根,想到f(x)=,数形结合求x1,x2,构建函数.【解析】1.选A.由函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0等价于a=有唯一正根,即函数y=g(x)=的图象与直线y=a在y轴右侧有1个交点,又y=g(x)为奇函数且g′(x)=,则y=g(x)在(-∞,-),(,+∞)上为减函数,在(-,0),(0,)上为增函数,则满足题意时y=g(x)的图象与直线y=a的位置关系如图所示,即实数a的取值范围是a<-.2.作出f(x)的函数图象如图所示,由[f(x)]2=a,可得f(x)=,所以>1,即a>1,不妨设x11),则x1=-,x2=lnt,所以x1+x2=lnt-,令g(t)=lnt-,则g′(t)=,所以当10,g(t)在(1,8)上递增;当t>8时,g′(t)<0,g(t)在(8,+∞)上递减;所以当t=8时,g(t)取得最大值g(8)=ln8-2=3ln2-2.答案:3ln2-2题1条件改为f(x)=ax3-3x2+1,其他条件不变,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为________.【解析】当a=0时,不符合题意.a≠0时,f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x1=0,x2=.若a>0,由图象知f(x)有负数零点,不符合题意.若a<0,由图象结合f(0)=1>0知,此时必有f>0,即a×-3×+1>0,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2.答案:(-∞,-2)导数法研究函数零点的存在性问题的策略(1)基本依据:函数零点的存在性定理.(2)注意点:函数零点的存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件.(3)基本方法:导数法分析函数的单调性、极值、区间端点函数值,画出函数的草图,数形结合求参数的值.(4)常见技巧:将已知等式适当变形,转化为有利于用导数法研究性质的形式.已知函数f(x)=x+ex-a,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中e为自然对数的底数,若存在x0使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为()A.ln2B.ln2-1C.-ln2D.-ln2-1【解析】选D.f(x)-g(x)=x+ex-a-ln(x+2)+4ea-x,令y=x-ln(x+2),y′=1-=,故y=x-ln(x+2)在(-2,-1)上是减函数,(-1,+∞)上是增函数,故当x=-1时,y有最小值-1-0=-1,而ex-a+4ea-x≥4(当且仅当ex-a=4ea-x,即x=a+ln2时,等号成立);故f(x)-g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故a+ln2=-1,即a=-1-ln2.考点二关于函数极值、最值的存在性问题【典例】(2019·大连模拟)已知x=1是函数f(x)=ax2+-xlnx的极值点.(1)求实数a的值.(2)求证:函数f(x)存在唯一的极小值点x0,且00,f(x)为增函数;当12时,g′(x)>0,g(x)为增函数,且g(4)=-2ln2>0,g(2)<0,所以存在x0∈(2,4),g(x0)=0.当2x>x0时,g(x)>0,f(x)为增函数,所以函数f(x)存在唯一的极小值点x0.又g=-ln,已知16e5<74,可得e5<⇒5<4ln,所以g<0,所以
