模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将正弦曲线y=sinx作如下变换:{x'=2x,y'=3y,得到的曲线方程为()A.y'=3sin12x'B.y'=13sin2x'C.y'¿12sin2x'D.y'=3sin2x'答案A2.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ¿π2¿∈R)和ρcosθ=2C.θ¿π2¿∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1解析由题意可知圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆的垂直于x轴的两条切线方程为x=0和x=2.将它们化为极坐标方程为θ¿π2¿∈R)和ρcosθ=2.故选B.答案B3.若a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是()A.-2√2B.−5√33C.−3D.−72解析不妨设{a=√6cosα,b=√3sinα¿),则a+b¿√6cosα+√3sinα=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tanφ¿√2.故a+b的最小值为-3.答案C4.若点M的柱坐标为(2,π6,7),则M的直角坐标是()A.(1,√3,7¿B.(√3,1,7)C.(1,7,√3)D.(√3,7,1)解析x=2cosπ6=√3,y=2sinπ6=1,z=7.答案B15.当t∈R时,参数方程{x=-8t4+t2,y=4-t24+t2(t为参数)表示的图形是()A.双曲线的一部分B.椭圆(去掉一个点)C.抛物线的一部分D.圆(去掉一个点)解析(方法一)原参数方程可化为{x=-8t4+t2,①y+1=84+t2,②①÷②,得xy+1=−t,代入②,得x24+y2=1¿≠-1).(方法二¿{x=(-2)×2(t2)1+(t2)2,y=1-(t2)21+(t2)2,令tanθ¿t2(θ≠kπ+π2,k∈Z),则{x=-2sin2θ,y=cos2θ,消去2θ,得x24+y2=1¿≠-1).答案B6.将点P的直角坐标(3+√3,3−√3¿化为极坐标可能是()A.(2√6,π12)B.(√6,π12)C.(2√6,5π12)D.(√6,5π12)解析 x=3+√3,y=3−√3,∴ρ¿√x2+y2=√(3+√3)2+(3-√3)2=2√6,2tanθ¿yx=3-√33+√3=1-√331+√33=tan(π4-π6)=tanπ12.又点P在第一象限,∴θ¿π12.答案A7.已知曲线C与曲线ρ=5√3cosθ−5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程为()A.ρ=-10cos(θ-π6)B.ρ=10cos(θ-π6)C.ρ=-10cos(θ+π6)D.ρ=10cos(θ+π6)解析曲线ρ=5√3cosθ-5sinθ的直角坐标方程为x2+y2=5√3x−5y,它关于极轴对称的直角坐标方程为x2+y2=5√3x+5y.所以极坐标方程为ρ2=5√3ρcosθ+5ρsinθ.易知曲线过极点,所以方程可简化为ρ=5√3cosθ+5sinθ=10cos(θ-π6).答案B8.若曲线的参数方程为{x=1-1t,y=1-t2¿≠0),则它的普通方程是()A.(x-1)2(y-1)=1(x≠1)B.y¿x(x-2)(1-x)2C.y¿1(1-x)2−1D.y=x1-x2+1解析 x=1−1t¿≠1),∴t¿11-x,y=1−t2=1−1(1-x)2=x(x-2)(1-x)2.答案B9.曲线{x=t2-1,y=2t+1(t为参数)的焦点坐标是()A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)解析将参数方程化为普通方程为(y-1)2=4(x+1),该曲线是将抛物线y2=4x向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).答案A310.已知曲线满足:①对称轴为坐标轴;②对称中心为(0,0);③渐近线互相垂直.则符合以上条件的曲线的参数方程为()A.{x=secθ,y=tanθ(θ为参数)B.{x=2t2,y=4t(t为参数)C.{x=1-secθ,y=1-tanθ(θ为参数)D.{x=3cosθ,y=2sinθ(θ为参数)解析由题意知该曲线必为等轴双曲线,将所给选项中的参数方程化为普通方程,然后进行判断即可.选项A对应的普通方程为x2-y2=1,符合题目条件.答案A11.过点P(4,3),且斜率为23的直线的参数方程为()A.{x=4+3√13t,y=3+2√13t(t为参数)B.{x=3+3√13t,y=4+2√13t(t为参数)C.{x=4+2√13t,y=3+3√13t(t为参数)D.{x=3+2√13t,y=4+3√13t(t为参数)解析因为倾斜角α满足tanα¿23,所以sinα¿2√13,cosα=3√13.4故所求参数方程为{x=4+3√13t,y=3+2√13t¿).答案A12.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l的参数方程为{x=-35t+2,y=45t(t为参数).若直线l与x轴的交点为M,N是曲线C上的动点,则∨MN∨的最大值为()A.√5+1B.√5C.√3+1D.√3解析曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.将直线l的参数方程化为普通方程是y=−43(x−2).令y=0,得x=2,即点M的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为C(0,1),半径r=1,则|MC|¿√5.故|MN|≤|MC|+r¿√5+1.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上...
